A reação em fase líquida A+B \rightleftarrows C é conduzida adiabaticamente em um conjunto de reatores tubulares arranjados em série. A alimentação consiste de uma mistura de \mathrm{A}, \mathrm{B} e inertes de 25:25:50 % molar, respectivamente, todos a 350 K . Existe uma disponibilidade de trocadores de calor que podem resfriar as correntes de entrada dos reatores até 350 K . Além disso, nos reatores é possível alcançar 95 \% da conversão de equilíbrio correspondente. Qual é o menor número de reatores em série necessários para se obter uma conversão de saída superior a 50 \% ?
Dados:
\begin{aligned} & \Delta H_{R}^{0}(273 \mathrm{~K})=-10000 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}_{\mathrm{A}} \\\ & \widetilde{C_{P_{A}}}=2,0 \mathrm{cal} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) \\\ & \widetilde{C_{P_{B}}}=5,0 \mathrm{cal} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) \\\ & \widetilde{C_{P_{C}}}=7,0 \mathrm{cal} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) \\\ & \widetilde{C_{P_{\text {Inertes}}}}=1,5 \mathrm{cal} /(\mathrm{mol} . \mathrm{K}) \end{aligned}
\mathbf{T}(\mathbf{K}) 350 400 450 500 550 600 650 700
\mathbf{X}_{\mathbf{e q}} 1,00 0,97 0,74 0,40 0,20 0,10 0,06 0,04

Passo 1

O enunciado trata de um arranjo de reatores tubulares em série operando adiabaticamente para a reação reversível
A + B \rightleftarrows C
com alimentação molar de 25 % A, 25 % B e 50 % inertes a 350 K. Entre cada reator há resfriamento de volta a 350 K e, em cada reator, chega‐se a 95 % da conversão de equilíbrio. Queremos saber quantos reatores em série são necessários para que a conversão global exceda 50 %. Vamos precisar:
– Fazer o balanço de energia adiabático para achar a conversão de equilíbrio no reator iso‐entrante ( T_{0} =350 K).
– Aplicar fator de 95 % dessa conversão de equilíbrio em cada estágio.
– Montar cálculo em cascata para ver quantos estágios levam X_total>0,50.

Passo 2

Calcular a conversão de equilíbrio em um reator adiabático iniciado a 350 K.
  1. Determinamos que
\Delta C_p = C_{p,C} - (C_{p,A}+C_{p,B}) = 7,0 - (2,0+5,0) = 0
Logo, a entalpia de reação independe da temperatura e vale
\Delta H_R = \Delta H_R^0(273\text{K}) = -10\,000\;\mathrm{cal/mol_A}.
  1. O balanço de energia dá
\sum C_p\,dT = -\Delta H_R\,d\xi \quad\Longrightarrow\quad T = T_0 + \frac{-\Delta H_R}{\sum C_p}\,X.
Na base de 1 mol de A e 1 mol de B mais 2 mol de inertes,
\sum C_p = 1\cdot2{,}0 + 1\cdot5{,}0 + 2\cdot1{,}5 = 10\;\mathrm{cal/K},
logo
T = 350 + \frac{10\,000}{10}\,X = 350 + 1\,000\,X.
  1. Em equilíbrio deve valer simultaneamente
X = X_{\rm eq}(T) \quad\text{e}\quad T = 350 + 1\,000\,X.
Usando a tabela de X_{\rm eq} vs. T, vemos que em T=550 K há
X_{\rm eq}=0{,}20,
e também 550 = 350 + 1\,000\cdot0{,}20.
Portanto, a conversão de equilíbrio adiabática é
X_{\rm eq,ad} = 0{,}20.

Passo 3

Como em cada reator atinge‐se apenas 95 % da conversão de equilíbrio, o ganho de conversão relativo ao que entra em cada estágio é
y = 0{,}95 \times 0{,}20 = 0{,}19.

Passo 4

Montamos o avanço em série de estágios descontínuos (modelo de estágios ideais em série). Se X_{n} é a conversão global após n reatores, então:
X_{n} = X_{n-1} + (1 - X_{n-1})\,y,
com X_{0}=0. Calculamos:
\begin{aligned} X_{1} &= 0 + (1-0)\,0{,}19 = 0{,}19,\\\ X_{2} &= 0{,}19 + (1-0{,}19)\,0{,}19 = 0{,}3439,\\\ X_{3} &= 0{,}3439 + (1-0{,}3439)\,0{,}19 = 0{,}4686,\\\ X_{4} &= 0{,}4686 + (1-0{,}4686)\,0{,}19 = 0{,}5696. \end{aligned}
Logo, com 3 reatores ficamos em 46{,}9\% e com 4 reatores alcançamos 56{,}96\%.

Resposta

O menor número de reatores em série necessário é 4.

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