Para uma reação envolvendo um reagente A, realizada a temperatura constante, foram obtidos os seguintes dados experimentais:
[A] (mol L-1) Velocidade \left(\mathbf{m o l ~ L}^{-\mathbf{1}} \mathbf{~ m i n}^{-\mathbf{1}}\right)
9,95 \times 10^{-3} 2,01 \times 10^{-3}
1,59 \times 10^{-2} 4,21 \times 10^{-3}
2,50 \times 10^{-2} 7,84 \times 10^{-3}
4,42 \times 10^{-2} 1,74 \times 10^{-2}
a) Construa em papel milimetrado o gráfico de \ln (velocidade) vs \ln [A]
b) Determine o coeficiente angular da reta obtida e, a partir dele, determine a ordem da reação n.
c) Determine o intercepto da reta e calcule o valor da constante de velocidade k.
d) Escreva a lei de velocidade completa da reação.
e) Indique as unidades da constante de velocidade k para a ordem de reação determinada.

Passo 1

O enunciado fornece quatro medidas da concentração de A e da velocidade da reação, todas à mesma temperatura. Pede-se:
  • (a) construir o gráfico de \ln(\text{velocidade}) vs \ln[A] (em papel milimetrado);
  • (b) determinar o coeficiente angular da reta obtida e, a partir dele, a ordem da reação n;
  • (c) determinar o intercepto da reta e calcular a constante de velocidade k;
  • (d) escrever a lei de velocidade completa da reação;
  • (e) indicar as unidades de k para a ordem encontrada.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • [A]=9{,}95\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, \text{velocidade}=2{,}01\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}.
  • [A]=1{,}59\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, \text{velocidade}=4{,}21\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}.
  • [A]=2{,}50\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, \text{velocidade}=7{,}84\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}.
  • [A]=4{,}42\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}, \text{velocidade}=1{,}74\times10^{-2}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}.

Passo 2

Conceito e método (aula rápida e prática)
  • Para uma reação elemental dependente apenas de A, a lei de velocidade tem a forma
\text{velocidade}=k\,[A]^n,
onde k é a constante de velocidade (depende só da temperatura) e n é a ordem em relação a A.
  • Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos uma relação linear:
\ln(\text{velocidade})=\ln k + n\,\ln[A].
Nesta forma, se fizermos o gráfico de \ln(\text{velocidade}) (eixo y) vs \ln[A] (eixo x), teremos uma reta cuja inclinação é n e cujo intercepto no eixo y é \ln k.
  • Assim, para responder (a) basta plotar os pares (\ln[A],\ln(\text{velocidade})). Para (b) e (c) é conveniente ajustar uma reta por mínimos quadrados (ou traçar a reta que melhor passa pelos pontos) e extrair inclinação e intercepto; depois k=\mathrm{e}^{\ln k}.

Passo 3

Calcular \ln[A] e \ln(\text{velocidade}) para cada ponto (mostrando como fazer cada conta).
  • Para 1.º ponto: \ln\bigl([A]\bigr)=\ln\bigl(9{,}95\times10^{-3}\bigr)=\ln(9{,}95)+\ln(10^{-3})\approx2{,}297573-6{,}907755=-4{,}610183.
\ln\bigl(\text{velocidade}\bigr)=\ln\bigl(2{,}01\times10^{-3}\bigr)=\ln(2{,}01)-6{,}907755\approx0{,}698135-6{,}907755=-6{,}209621.
  • Para 2.º ponto: \ln\bigl([A]\bigr)=\ln\bigl(1{,}59\times10^{-2}\bigr)=\ln(1{,}59)-4{,}605170\approx0{,}463734-4{,}605170=-4{,}141436.
\ln\bigl(\text{velocidade}\bigr)=\ln\bigl(4{,}21\times10^{-3}\bigr)=\ln(4{,}21)-6{,}907755\approx1{,}437497-6{,}907755=-5{,}470258.
  • Para 3.º ponto: \ln\bigl([A]\bigr)=\ln\bigl(2{,}50\times10^{-2}\bigr)=\ln(2{,}5)-4{,}605170\approx0{,}916291-4{,}605170=-3{,}688879.
\ln\bigl(\text{velocidade}\bigr)=\ln\bigl(7{,}84\times10^{-3}\bigr)=\ln(7{,}84)-6{,}907755\approx2{,}059239-6{,}907755=-4{,}848516.
  • Para 4.º ponto: \ln\bigl([A]\bigr)=\ln\bigl(4{,}42\times10^{-2}\bigr)=\ln(4{,}42)-4{,}605170\approx1{,}486419-4{,}605170=-3{,}118751.
\ln\bigl(\text{velocidade}\bigr)=\ln\bigl(1{,}74\times10^{-2}\bigr)=\ln(1{,}74)-4{,}605170\approx0{,}553385-4{,}605170=-4{,}051785.
  • Resumo dos pontos a serem traçados no gráfico de papel milimetrado (essas são as coordenadas (\ln[A],\ln v)): (-4{,}610183,\,-6{,}209621),\quad (-4{,}141436,\,-5{,}470258),\quad (-3{,}688879,\,-4{,}848516),\quad (-3{,}118751,\,-4{,}051785).

Passo 4

Ajuste linear por mínimos quadrados (fórmulas e cálculo passo a passo)
  • Fórmula da inclinação (reta y=m x + b):
m=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}, \quad b=\bar{y}-m\bar{x},
onde x_i=\ln[A]_i e y_i=\ln(\text{velocidade})_i.
  • Calculei as médias: \bar{x}=\frac{1}{4}\sum x_i\approx-3{,}889812,\qquad \bar{y}=\frac{1}{4}\sum y_i\approx-5{,}145045.
  • Calculei as somas necessárias (mostrando os resultados numéricos): \sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\approx1{,}752289, \qquad \sum (x_i-\bar{x})^2\approx1{,}217156.
  • Assim a inclinação vale m\approx\frac{1{,}752289}{1{,}217156}\approx1{,}4397.Pela teoria do Passo 2, esta inclinação é exatamente a ordem n. Portanto n\approx1{,}4397\approx1{,}44.
  • O intercepto é b=\bar{y}-m\bar{x}\approx -5{,}145045 - (1{,}4397)(-3{,}889812)\approx0{,}45320.Como b=\ln k, temos \ln k\approx0{,}45320.

Passo 5

Cálculo de k e montagem da lei de velocidade
  • Transformando o intercepto: k=\mathrm{e}^{\ln k}=\mathrm{e}^{0{,}45320}\approx1{,}574.(Unidades ainda a determinar; veja passo seguinte.)
  • Portanto a lei de velocidade completa é \text{velocidade}=k\,[A]^n \quad\Longrightarrow\quad \text{velocidade}\approx1{,}574\,[A]^{1{,}44},onde a velocidade está em \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}} e a concentração em \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 6

Unidades da constante k
  • Em geral, para ordem n,
[\!k\!]=\frac{\mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}}{(\mathrm{mol\;L^{-1}})^n} =\mathrm{mol}^{\,1-n}\,\mathrm{L}^{\,n-1}\,\mathrm{min}^{-1}.
  • Substituindo n\approx1{,}44:
[\!k\!]\approx\mathrm{mol}^{-0{,}44}\,\mathrm{L}^{0{,}44}\,\mathrm{min}^{-1},
ou, de forma mais compacta, [\!k\!]=\mathrm{L}^{\,n-1}\,\mathrm{mol}^{\,1-n}\,\mathrm{min}^{-1} com n\approx1{,}44.

Resposta

(a) Pontos para plotar (\ln[A],\ln(\text{velocidade})): (-4{,}610183,\,-6{,}209621), (-4{,}141436,\,-5{,}470258), (-3{,}688879,\,-4{,}848516), (-3{,}118751,\,-4{,}051785).
(b) Coeficiente angular (inclinação) n\approx1{,}44 (ordem da reação).
(c) Intercepto \ln k\approx0{,}45320; k\approx1{,}574.
(d) Lei de velocidade: \text{velocidade}\approx1{,}574\,[A]^{1{,}44} (velocidade em \mathrm{mol\;L^{-1}\;min^{-1}}, [A] em \mathrm{mol\;L^{-1}}).
(e) Unidades de k: [\!k\!]=\mathrm{mol}^{\,1-n}\,\mathrm{L}^{\,n-1}\,\mathrm{min}^{-1}; para n\approx1{,}44 isso dá aproximadamente \mathrm{mol}^{-0{,}44}\,\mathrm{L}^{0{,}44}\,\mathrm{min}^{-1}.

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