Para a Reação \mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}+2 \mathrm{H}^{+}{ }_{(\mathrm{aq})} \rightarrow \mathrm{Zn}^{2+}{ }_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2(\mathrm{~g})}, responda as questões:
a) Estabeleça a Equação de Nernst, relacionando E com \mathrm{E}^{\circ}.
b) Calcule a diferença de potencial quando temos as seguintes concentrações.
\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]=1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \quad[\mathrm{H}+]=1 \times 10^{3} \mathrm{~mol} / \mathrm{L} \quad\left[\mathrm{H}_{2}\right]=1 \mathrm{~atm} .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) escrever a equação de Nernst que relaciona E com E^{\circ} para a reação
\mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})}+2\mathrm{H}^{+}_{(\mathrm{aq})}\rightarrow \mathrm{Zn}^{2+}_{(\mathrm{aq})}+\mathrm{H}_{2(\mathrm{g})}.
  • (b) calcular o potencial E quando
\left[\mathrm{Zn}^{2+}\right]=1\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},\qquad [\mathrm{H}^+]=1\times10^{3}\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}},\qquad p(\mathrm{H}_2)=1\\ \mathrm{atm}.
Informações fornecidas e hipóteses que vou usar (sem perguntar nada a mais):
  • Valores fornecidos: as concentrações e a pressão \mathrm{H}_2 acima.
  • Vou assumir temperatura padrão T=25^\circ\mathrm{C}=298{,}15\\ \mathrm{K} (se não for dada, essa é a hipótese usual).
  • Vou tratar atividades como concentrações e pressão como pressão parcial (atividade de \mathrm{H}_2 igual à sua pressão em atm), ou seja, a_{\mathrm{Zn}^{2+}}\approx[\mathrm{Zn}^{2+}] e a_{\mathrm{H}^+}\approx[\mathrm{H}^+], a_{\mathrm{H}_2}\approx p(\mathrm{H}_2).

Passo 2

Identificar os semicircuitos (meio pedagógico): a reação completa é soma de duas semirreações (redução do próton e oxidação do zinco). Escrevendo as semirreações (como referências):
\text{redução:}\quad 2\mathrm{H}^+ + 2\mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{H}_2\quad (E^\circ_{\mathrm{red}}=0{,}00\\ \mathrm{V})çã
\text{oxidação:}\quad \mathrm{Zn} \rightarrow \mathrm{Zn}^{2+} + 2\mathrm{e}^-\quad (E^\circ_{\mathrm{red}}(\mathrm{Zn}^{2+}/\mathrm{Zn})=-0{,}76\\ \mathrm{V})çã
  • O número de elétrons trocados na reação global é n=2 (dois elétrons).
  • O potencial padrão da célula (redução no cátodo menos redução no ânodo) é
E^\circ_{\text{cel}}=E^\circ_{\text{cátodo}}-E^\circ_{\text{ânodo}}=0{,}00-(-0{,}76)=0{,}76\\ \mathrm{V}.áâ

Passo 3

Derivar a equação de Nernst (aula rápida): a forma geral da equação de Nernst para uma reação em que n elétrons são transferidos é obtida da relação entre energia livre e potencial elétrico. Em forma prática usa-se:
E=E^{\circ}-\frac{RT}{nF}\ln Q,
onde:
  • E é o potencial da célula nas condições dadas;
  • E^{\circ} é o potencial padrão da célula;
  • R é a constante dos gases ideais, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}};
  • T é a temperatura em kelvin;
  • F é a constante de Faraday, F=96485\\ \mathrm{C\\ mol^{-1}};
  • n é o número de elétrons trocados ( n=2 aqui);
  • Q é o quociente de reação (ver passo seguinte).
    Explicando em palavras: o termo \dfrac{RT}{nF}\ln Q corrige E^\circ quando as concentrações/pressões não são as padrão.

Passo 4

Escrever Q (quociente de reação) para esta reação concreta: ignorando o sólido \mathrm{Zn}_{(\mathrm{s})} porque a atividade do sólido puro é 1,
Q=\frac{a_{\mathrm{Zn}^{2+}}\;a_{\mathrm{H}_2}}{a_{\mathrm{H}^+}^{\,2}}.
Substituindo atividades por concentrações/pressão (conforme as hipóteses do Passo 1):
Q=\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]\;p(\mathrm{H}_2)}{[\mathrm{H}^+]^{2}}.
Portanto a equação de Nernst específica para a reação fica
E=E^{\circ}-\frac{RT}{2F}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]\;p(\mathrm{H}_2)}{[\mathrm{H}^+]^{2}}\right).
(É a resposta pedida em (a).)

Passo 5

Converter a forma com \ln para uma forma prática com \log_{10} e avaliar o fator numérico a T=298{,}15\\ \mathrm{K}. Usando a identidade \ln x = 2{,}303\log_{10}x e valores numéricos:
\frac{RT}{2F}=\frac{8{,}314\cdot 298{,}15}{2\cdot 96485}\\ \mathrm{V}\approx 0{,}012845\\ \mathrm{V}.
Em base 10 costuma-se usar o coeficiente
\frac{2{,}303RT}{2F}=\frac{2{,}303\cdot 8{,}314\cdot 298{,}15}{2\cdot 96485}\\ \mathrm{V}\approx 0{,}02958\\ \mathrm{V}.
Assim a equação prática é
E=E^{\circ}-0{,}02958\log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]\;p(\mathrm{H}_2)}{[\mathrm{H}^+]^{2}}\right)\quad(\text{a }25^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Calcular Q com os valores dados (aqui peguei os números do enunciado):
[\mathrm{Zn}^{2+}]=1,\qquad [\mathrm{H}^+]=1\times10^{3},\qquad p(\mathrm{H}_2)=1.
Logo
Q=\frac{1\cdot 1}{(1\times10^{3})^{2}}=\frac{1}{10^{6}}=10^{-6}.
Calcular \log_{10}Q:
\log_{10}Q=\log_{10}(10^{-6})=-6.

Passo 7

Calcular E substituindo em Nernst. Usando E^{\circ}=0{,}76\\ \mathrm{V} (do Passo 2) e o coeficiente 0{,}02958\\ \mathrm{V}:
E=0{,}76 - 0{,}02958\cdot(-6)=0{,}76 + 0{,}17748=0{,}93748\\ \mathrm{V}.
Arredondando de forma apropriada (três casas significativas):
E\approx 0{,}937\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: o potencial aumentou em relação a E^\circ porque a concentração de \mathrm{H}^+ está muito alta; isso favorece a redução de \mathrm{H}^+ em \mathrm{H}_2 e torna a célula mais positiva. Bons estudos — isso é exatamente o tipo de conta que cai em prova e dá para fazer rápido com a forma em \log_{10}.

Resposta

(a) E=E^{\circ}-\frac{RT}{2F}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{Zn}^{2+}]\;p(\mathrm{H}_2)}{[\mathrm{H}^+]^{2}}\right)
(b) E\approx 0{,}937\\ \mathrm{V}

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