O Kp da reação 2 \mathrm{~A}(\mathrm{~g}) \leftrightarrow \mathrm{B}(\mathrm{g}) a 25^{\circ} \mathrm{C} é 7,13 . Determine o \Delta \mathrm{G}^{\circ}(\mathrm{kJ}) :

Passo 1

O enunciado dá a reação e o valor de K_p nas condições padrão:
2\mathrm{A}(\mathrm{g}) \rightleftharpoons \mathrm{B}(\mathrm{g})
Dados fornecidos:
K_p = 7,13 \quad\text{a }25^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
Calcular \Delta G^{\circ} em kJ (por mol de reação, ou seja, por mol conforme a estequiometria dada).

Passo 2

Fórmula que relaciona a energia livre padrão com a constante de equilíbrio: a relação básica vem da condição de equilíbrio para a energia livre:
\Delta G = \Delta G^{\circ} + RT\ln Q.
No equilíbrio temos \Delta G=0 e Q=K, daí
\Delta G^{\circ} = -RT\ln K.
Aqui usamos K=K_p porque o enunciado deu K_p. Explicando as variáveis:
  • R é a constante universal dos gases, com valor numérico que usaremos em unidades do SI: R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin. Converteremos 25^\circ\mathrm{C} para kelvin:
T = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K}.
  • K é a constante de equilíbrio sem dimensão (aqui K_p=7,13).
    Observação sobre unidades: como R está em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} e T em K, o produto RT tem unidades de \mathrm{J\,mol^{-1}}. Depois converteremos para kJ·mol ^{-1} dividindo por 1000.

Passo 3

Calcular o logaritmo natural de K_p:
\ln K_p = \ln(7,13).
Podemos fazer uma aproximação prática escrevendo 7,13 = 7\cdot 1{,}018571, então
\ln(7{,}13)=\ln 7 + \ln(1{,}018571).
Valores conhecidos/estimados:
\ln 7 \approx 1{,}945910.
Para \ln(1+x) com x=0{,}018571 usamos a expansão \ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^2}{2}:
\ln(1{,}018571)\approx 0{,}018571 - \tfrac{(0{,}018571)^2}{2}\approx 0{,}018571 - 0{,}0001725 \approx 0{,}018399.
Somando:
\ln(7{,}13)\approx 1{,}945910 + 0{,}018399 = 1{,}964309.

Passo 4

Calcular o produto RT:
RT = (8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}})\times(298{,}15\\ \mathrm{K}).
Fazendo a multiplicação:
RT \approx 8{,}314 \times 298{,}15 \approx 2478{,}819\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula \Delta G^{\circ} = -RT\ln K_p:
\Delta G^{\circ} \approx -2478{,}819\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\times 1{,}964309 \approx -4869{,}165\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.

Passo 6

Converter para kJ·mol ^{-1} dividindo por 1000 e arredondar adequadamente (o K_p foi dado com três algarismos significativos):
\Delta G^{\circ} \approx -\dfrac{4869{,}165}{1000}\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} \approx -4{,}87\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Interpretação curta: o sinal negativo indica que, nas condições padrão a 25^\circ\mathrm{C}, a reação favorece espontaneamente a formação dos produtos (no sentido da reação escrita).

Resposta

\Delta G^{\circ} = -4{,}87\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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