Para a reação
em fase gasosa, foram determinados os seguintes valores da constante de velocidade em função da temperatura:
400
450
500
600
700
Calcule a energia de ativação e o fator pré-exponencial.
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400 | 450 | 500 | 600 | 700 |
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Passo 1
O enunciado dá a constante de velocidade para a reação em função da temperatura e pede a energia de ativação e o fator pré-exponencial. Dados relevantes (peguei os valores do enunciado):
O que se pede: calcular
- a energia de ativação
(em , por exemplo), - o fator pré-exponencial
(com unidades ).
Passo 2
A fórmula que relaciona
,
,
e
é a equação de Arrhenius. Vou apresentar e explicar passo a passo.
A equação de Arrhenius:
onde
-
é a constante de velocidade (aqui em ), -
é o fator pré-exponencial (unidades iguais às de ), -
é a energia de ativação (unidade de energia por mol, ex.: ), -
é a constante universal dos gases, , -
é a temperatura em kelvin.
Tomando logaritmo natural de ambos os lados obtemos a forma linear:
Isto é uma equação de reta na forma
se identificarmos
e
. O coeficiente angular (slope) é
e o intercepto é
. Assim, se soubermos a inclinação da reta
vs
podemos achar
, e com
e um ponto qualquer achamos
.
Passo 3
Escolha do método: para simplificar e ser aplicável “na prova sem máquina complexa”, vou usar o método de dois pontos (fórmula de Arrhenius entre dois pares
e
). Esse método é o mais direto e ensina o raciocínio essencial; se for desejável uma estimativa mais fina usaríamos ajuste linear por mínimos quadrados (mas isso é mais trabalhoso à mão). Vou escolher os pontos mais distantes em
para reduzir erros numéricos:
,
e
,
.
A fórmula para dois pontos (obtida da linearização) é:
Passo 4
Calcular os
e
para os pontos escolhidos.
Para
,
:
Para
,
:
Agora as inversas das temperaturas:
Passo 5
Calcular a inclinação (slope) da reta
vs
usando os dois pontos:
Computando numericamente o numerador e denominador:
Logo
Lembrando que
, então:
Passo 6
Calcular
usando
:
Fazendo a multiplicação:
Convertendo para
:
Passo 7
Calcular o fator pré-exponencial
. Usamos a relação linear rearranjada:
Posso usar qualquer ponto; uso ambos para checar consistência.
Usando
e
:
Usando
e
:
Os dois valores são muito próximos (diferença por arredondamento). Adoto
.
Agora exponencio para obter
:
Para ter uma ordem de grandeza prática, converto para base 10:
portanto
Passo 8
Interpretação curta e incentivo: obtivemos uma energia de ativação da ordem de algumas dezenas de
, e um
típico grande para reações bimoleculares gasosas. Se quiseres mais precisão, podemos fazer um ajuste linear
vs
usando todos os pontos (regressão linear) — dá um número um pouco mais refinado, mas o procedimento mostrada é o essencial que funciona bem em provas.