Para a reação \mathrm{Br}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{6} \rightarrow \mathrm{HBr}+\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} em fase gasosa, foram determinados os seguintes valores da constante de velocidade em função da temperatura:
\mathbf{T}(\mathrm{K}) 400 450 500 600 700
\mathbf{k}\left(\mathrm{M}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}\right) 2,65 \times 10^{3} 1,75 \times 10^{4} 7,9 \times 10^{4} 2,7 \times 10^{5} 7,6 \times 10^{6}
Calcule a energia de ativação e o fator pré-exponencial.

Passo 1

O enunciado dá a constante de velocidade para a reação em função da temperatura e pede a energia de ativação e o fator pré-exponencial. Dados relevantes (peguei os valores do enunciado):
T (K): 400,\;450,\;500,\;600,\;700
k ( \mathrm{M}^{-1}\mathrm{s}^{-1}): 2{,}65\times10^{3},\;1{,}75\times10^{4},\;7{,}9\times10^{4},\;2{,}7\times10^{5},\;7{,}6\times10^{6}
O que se pede: calcular
  • a energia de ativação E_a (em \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}, por exemplo),
  • o fator pré-exponencial A (com unidades \mathrm{M}^{-1}\mathrm{s}^{-1}).

Passo 2

A fórmula que relaciona k, T, E_a e A é a equação de Arrhenius. Vou apresentar e explicar passo a passo.
A equação de Arrhenius:
k = A \, e^{-E_a/(R T)}
onde
  • k é a constante de velocidade (aqui em \mathrm{M^{-1}s^{-1}}),
  • A é o fator pré-exponencial (unidades iguais às de k),
  • E_a é a energia de ativação (unidade de energia por mol, ex.: \mathrm{J\\ mol^{-1}}),
  • R é a constante universal dos gases, R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}},
  • T é a temperatura em kelvin.
Tomando logaritmo natural de ambos os lados obtemos a forma linear:
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Isto é uma equação de reta na forma y = b + m x se identificarmos y=\ln k e x=1/T. O coeficiente angular (slope) é m = -E_a/R e o intercepto é b=\ln A. Assim, se soubermos a inclinação da reta \ln k vs 1/T podemos achar E_a, e com E_a e um ponto qualquer achamos \ln A.

Passo 3

Escolha do método: para simplificar e ser aplicável “na prova sem máquina complexa”, vou usar o método de dois pontos (fórmula de Arrhenius entre dois pares (T_1,k_1) e (T_2,k_2)). Esse método é o mais direto e ensina o raciocínio essencial; se for desejável uma estimativa mais fina usaríamos ajuste linear por mínimos quadrados (mas isso é mais trabalhoso à mão). Vou escolher os pontos mais distantes em T para reduzir erros numéricos: T_1=400\\ \mathrm{K}, k_1=2{,}65\times10^{3} e T_2=700\\ \mathrm{K}, k_2=7{,}6\times10^{6}.
A fórmula para dois pontos (obtida da linearização) é:
\frac{\ln k_2 - \ln k_1}{1/T_2 - 1/T_1} = -\frac{E_a}{R}.

Passo 4

Calcular os \ln k e 1/T para os pontos escolhidos.
Para T_1=400\\ \mathrm{K}, k_1=2{,}65\times10^{3}:
\ln k_1 = \ln(2{,}65\times10^{3}) = \ln(2{,}65)+\ln(10^{3}) \approx 0{,}973\, ( \ln 2{,}65 ) + 6{,}9078 = 7{,}8808.
Para T_2=700\\ \mathrm{K}, k_2=7{,}6\times10^{6}:
\ln k_2 = \ln(7{,}6\times10^{6}) = \ln(7{,}6)+\ln(10^{6}) \approx 2{,}0281 + 13{,}8155 = 15{,}8436.
Agora as inversas das temperaturas:
\frac{1}{T_1} = \frac{1}{400} = 0{,}0025\\ \mathrm{K^{-1}}, \qquad \frac{1}{T_2} = \frac{1}{700} \approx 0{,}0014285714\\ \mathrm{K^{-1}}.

Passo 5

Calcular a inclinação (slope) da reta \ln k vs 1/T usando os dois pontos:
\text{slope} = \frac{\ln k_2 - \ln k_1}{1/T_2 - 1/T_1} = \frac{15{,}8436 - 7{,}8808}{0{,}0014285714 - 0{,}0025}.
Computando numericamente o numerador e denominador:
\ln k_2 - \ln k_1 = 7{,}9628, \qquad 1/T_2 - 1/T_1 = -0{,}0010714286.
Logo
\text{slope} \approx \frac{7{,}9628}{-0{,}0010714286} \approx -7{,}436{,}4.
Lembrando que \text{slope} = -E_a/R, então:
-\frac{E_a}{R} \approx -7{,}436{,}4.

Passo 6

Calcular E_a usando R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}K^{-1}}:
E_a = R \times 7{,}436{,}4 \approx 8{,}314 \times 7{,}436{,}4 \\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Fazendo a multiplicação:
E_a \approx 61{,}826\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} \approx 6{,}1826\times10^{4}\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Convertendo para \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}:
E_a \approx 61{,}8\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}} \quad(\text{arredondando a 3 algarismos significativos}).

Passo 7

Calcular o fator pré-exponencial A. Usamos a relação linear rearranjada:
\ln A = \ln k + \frac{E_a}{R}\cdot\frac{1}{T}.
Posso usar qualquer ponto; uso ambos para checar consistência.
Usando T_2=700\\ \mathrm{K} e \ln k_2=15{,}8436:
\ln A \approx 15{,}8436 + (7{,}436{,}4)\times\frac{1}{700} = 15{,}8436 + 10{,}6235 = 26{,}4671.
Usando T_1=400\\ \mathrm{K} e \ln k_1=7{,}8808:
\ln A \approx 7{,}8808 + (7{,}436{,}4)\times\frac{1}{400} = 7{,}8808 + 18{,}5910 = 26{,}4718.
Os dois valores são muito próximos (diferença por arredondamento). Adoto \ln A \approx 26{,}47.
Agora exponencio para obter A:
A = e^{26{,}47}.
Para ter uma ordem de grandeza prática, converto para base 10:
\log_{10}A = \frac{26{,}47}{\ln 10} \approx \frac{26{,}47}{2{,}302585} \approx 11{,}50,
portanto
A \approx 10^{11{,}50} \approx 3{,}16\times10^{11}\\ \mathrm{M^{-1}s^{-1}}.

Passo 8

Interpretação curta e incentivo: obtivemos uma energia de ativação da ordem de algumas dezenas de \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}, e um A típico grande para reações bimoleculares gasosas. Se quiseres mais precisão, podemos fazer um ajuste linear \ln k vs 1/T usando todos os pontos (regressão linear) — dá um número um pouco mais refinado, mas o procedimento mostrada é o essencial que funciona bem em provas.

Resposta

E_a \approx 61{,}8\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}
A \approx 3{,}16\times10^{11}\\ \mathrm{M^{-1}s^{-1}}

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