A reação de primeira ordem 2 \mathrm{~A} \rightarrow 2 \mathrm{~B}+\mathrm{C} apresenta uma conversão de 35 \% decorridos 325 segundos de seu início. Qual o tempo necessário para a conversão desta reação química atinja 90 \% ?

Passo 1

O enunciado pede para achar o tempo necessário para que a conversão da reação atinja 90\%. As informações dadas são:
  • A reação é de primeira ordem e tem equação estequiométrica 2\mathrm{~A}\rightarrow2\mathrm{~B}+\mathrm{C}.
  • A conversão observada é de 35\% após 325 segundos desde o início da reação.
  • Pergunta: qual o tempo necessário para a conversão ser 90\%?

Passo 2

Entendendo o que significa “reator de primeira ordem” e escrevendo a equação diferencial:
  • Em cinética de primeira ordem a velocidade de consumo do reagente A é proporcional à sua concentração [A]. Definimos a constante de velocidade como k (unidade s^{-1}).
  • A equação diferencial que descreve isso é
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A].
Aqui [A] é a concentração de A no tempo t, k é a constante de velocidade e t é o tempo.

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter a lei integrada de primeira ordem:
  • Separamos variáveis e integramos:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
  • Integrando de t=0 (com concentração inicial [A]_0) até tempo t (com concentração [A](t)):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = -\int_{0}^{t} k\,dt.
  • Isso dá
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -kt.
  • Exponenciando, obtemos a forma usual:
[A](t) = [A]_0\,e^{-kt}.
Expliquei cada símbolo: [A]_0 é a concentração inicial de A, [A](t) é a concentração em t, k é a constante de velocidade.

Passo 4

Relacionando concentração com conversão X:
  • A conversão X é a fração de A consumida:
X = \frac{[A]_0 - [A](t)}{[A]_0} = 1 - \frac{[A](t)}{[A]_0}.
  • Usando [A](t)/[A]_0 = e^{-kt}, obtemos a relação direta entre conversão e tempo para primeira ordem:
X = 1 - e^{-kt}.
Essa fórmula é muito prática: dado X e t eu encontro k; dado k e X encontro t.

Passo 5

Determinar a constante k a partir do dado X=35\% em t=325 s:
  • Substituindo X=0{,}35 e t=325 s na fórmula X=1-e^{-kt}:
0{,}35 = 1 - e^{-k\cdot 325}.
  • Isolando o termo exponencial:
e^{-325k} = 1 - 0{,}35 = 0{,}65.
  • Tomando logaritmo natural:
-325k = \ln(0{,}65).
  • Logo
k = -\frac{\ln(0{,}65)}{325}.
  • Calculando numericamente: \ln(0{,}65)\approx -0{,}430782916, então
k \approx \frac{0{,}430782916}{325} \approx 0{,}0013255\\ \text{s}^{-1}.
Expliquei as operações: isolamos o exponencial, aplicamos ln aos dois lados e resolvemos para k. A unidade de k é s^{-1}.

Passo 6

Calcular o tempo necessário para atingir X=90\%:
  • Usamos novamente X=1-e^{-kt} com X=0{,}90 e o valor de k encontrado:
0{,}90 = 1 - e^{-kt}\quad\Rightarrow\quad e^{-kt} = 0{,}10.
  • Tomando ln:
-kt = \ln(0{,}10) \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{\ln(0{,}10)}{k}.
  • Como \ln(0{,}10) = -\ln(10) \approx -2{,}302585093, fica
t = \frac{2{,}302585093}{k}.
  • Substituindo k \approx 0{,}0013255\\ \text{s}^{-1},
t \approx \frac{2{,}302585093}{0{,}0013255} \approx 1737\\ \text{s}.
  • Opcional para sensação de escala: 1737 s é aproximadamente 28{,}95 minutos (aqui só para ter noção do tempo).

Resposta

\,t \approx 1737\\ \text{s}

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