A reação de primeira ordem
apresenta uma conversão de
decorridos 325 segundos de seu início. Qual o tempo necessário para a conversão desta reação química atinja
?
Passo 1
O enunciado pede para achar o tempo necessário para que a conversão da reação atinja
. As informações dadas são:
- A reação é de primeira ordem e tem equação estequiométrica
. - A conversão observada é de
após segundos desde o início da reação. - Pergunta: qual o tempo necessário para a conversão ser
?
Passo 2
Entendendo o que significa “reator de primeira ordem” e escrevendo a equação diferencial:
- Em cinética de primeira ordem a velocidade de consumo do reagente
é proporcional à sua concentração . Definimos a constante de velocidade como (unidade ). - A equação diferencial que descreve isso é
Aqui
é a concentração de
no tempo
,
é a constante de velocidade e
é o tempo.
Passo 3
Integração da equação diferencial para obter a lei integrada de primeira ordem:
- Separamos variáveis e integramos:
- Integrando de
(com concentração inicial ) até tempo (com concentração ):
- Isso dá
- Exponenciando, obtemos a forma usual:
Expliquei cada símbolo:
é a concentração inicial de
,
é a concentração em
,
é a constante de velocidade.
Passo 4
Relacionando concentração com conversão
:
- A conversão
é a fração de consumida:
- Usando
, obtemos a relação direta entre conversão e tempo para primeira ordem:
Essa fórmula é muito prática: dado
e
eu encontro
; dado
e
encontro
.
Passo 5
Determinar a constante
a partir do dado
em
s:
- Substituindo
e s na fórmula :
- Isolando o termo exponencial:
- Tomando logaritmo natural:
- Logo
- Calculando numericamente:
, então
Expliquei as operações: isolamos o exponencial, aplicamos ln aos dois lados e resolvemos para
. A unidade de
é
.
Passo 6
Calcular o tempo necessário para atingir
:
- Usamos novamente
com e o valor de encontrado:
- Tomando ln:
- Como
, fica
- Substituindo
,
- Opcional para sensação de escala:
s é aproximadamente minutos (aqui só para ter noção do tempo).