Em uma reação química, um catalisador é uma substância que acelera a reação mas que, ela mesma, não sofre transformação. Se o produto de uma reação é um catalisador, a reação é chamada de autocatalítica. Suponha que a taxa,
, de uma dada reação autocatalítca é proporcional à quantidade da substância original que ainda permanece vezes a quantidade de produto,
, produzido. Se a quantidade inicial da substância original é
e a quantidade que ainda permanece é
:
(a) Exprima
em função de
.
(b) Qual é o valor de
quando a reação está ocorrendo de forma mais rápida?
(a) Exprima
(b) Qual é o valor de
Passo 1
O enunciado fala de uma reação autocatalítica cuja taxa r é proporcional à quantidade do reagente que ainda resta (A–p) vezes a quantidade de produto p. Vamos usar conceitos de leis de velocidade em cinética química e otimização de funções.
Passo 2
Como a constante de proporcionalidade é k, podemos escrever a taxa r em função de p assim:
Isso representa um produto entre a concentração do reagente remanescente e do catalisador (produto).
Passo 3
Para achar o valor de p que maximiza r§, calculamos a derivada de r em relação a p e igualamos a zero:
O ponto crítico satisfaz
.
Passo 4
Resolvendo
obtemos o valor de p que torna a reação mais rápida:
Como essa solução cai num máximo da função quadrática, concluímos que é o ponto de taxa máxima.
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)