Em uma reação química, um catalisador é uma substância que acelera a reação mas que, ela mesma, não sofre transformação. Se o produto de uma reação é um catalisador, a reação é chamada de autocatalítica. Suponha que a taxa, r, de uma dada reação autocatalítca é proporcional à quantidade da substância original que ainda permanece vezes a quantidade de produto, p, produzido. Se a quantidade inicial da substância original é A e a quantidade que ainda permanece é A-p :
(a) Exprima r em função de p.
(b) Qual é o valor de p quando a reação está ocorrendo de forma mais rápida?

Passo 1

O enunciado fala de uma reação autocatalítica cuja taxa r é proporcional à quantidade do reagente que ainda resta (A–p) vezes a quantidade de produto p. Vamos usar conceitos de leis de velocidade em cinética química e otimização de funções.

Passo 2

Como a constante de proporcionalidade é k, podemos escrever a taxa r em função de p assim:
r(p)=k,(A-p),p
Isso representa um produto entre a concentração do reagente remanescente e do catalisador (produto).

Passo 3

Para achar o valor de p que maximiza r§, calculamos a derivada de r em relação a p e igualamos a zero:
drdp=k,ddpl(p(A-p)r)=k,(A-2p)
O ponto crítico satisfaz A-2p=0.

Passo 4

Resolvendo A-2p=0 obtemos o valor de p que torna a reação mais rápida:
p=A2
Como essa solução cai num máximo da função quadrática, concluímos que é o ponto de taxa máxima.

Resposta

(a) r(p)=k,p,(A-p).
(b) p=dfracA2.

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