Para as seguintes funções f, encontre o discriminante de f(x)=0 e determine se as razões são reais e diferentes, reais e iguais, ou não existem. Esboce o gráfico de f(x) sem desenhar mais de quatro pontos.
f(x)=4 x^2-x-5

Passo 1

A função dada é f(x)=4x^{2}−x−5. O conteúdo aqui é equação quadrática: vamos precisar dos coeficientes a, b e c para calcular o discriminante e, depois, decidir se as raízes são reais ou não. Também vamos esboçar o gráfico usando alguns pontos-chave.

Passo 2

Para calcular o discriminante usamos a fórmula Δ=b^2−4ac. Identificando em f(x)=4x^{2}−x−5 temos: a=4, b=−1 e c=−5.
Substituindo na fórmula do discriminante:
Δ = (−1)^2 − 4 cdot 4 cdot (−5) = 1 + 80 = 81

Passo 3

Como Δ=81>0, concluímos que a equação f(x)=0 tem duas raízes reais e distintas.

Passo 4

Para esboçar o gráfico, encontramos as raízes explicitamente:
x = −b pm raizΔ2a = 1 pm 98,
isto é, x1=−1 e x2=5/4. Também achamos o vértice:
xv = −b2a = 18, yv = fl(tfrac18r)=−5,0625

Passo 5

Escolhemos quatro pontos: as raízes (−1,0) e (5/4,0), o vértice (1/8,−5{,}0625) e o ponto de interceptação y em x=0, que é (0,−5). Agora basta desenhar uma parábola que abra para cima passando por esses pontos.

Resposta

Δ=81, logo as raízes são reais e diferentes.

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