(1,5) Uma reação de segunda ordem do tipo \mathrm{A} \rightarrow Produtos tem uma constante de velocidade \mathrm{k}=0,54 \mathrm{~L} \mathrm{~mol}-1 \mathrm{~s}^{-1}. Se a concentração inicial de A for 0,88 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1}, quanto tempo levará para que a concentração de A caia para 0,22 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} ?
a) 6,3 \mathrm{~s}
b) 2,5 \mathrm{~s}
c) 1,3 \mathrm{~s}
d) 12,6 \mathrm{~s}

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que a concentração de A diminua de [A]_0 para [A] numa reação de segunda ordem. Dados fornecidos:
  • constante de velocidade: k=0,54\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}},
  • concentração inicial: [A]_0=0,88\\ \mathrm{mol\;L^{-1}},
  • concentração final desejada: [A]=0,22\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    A pergunta é: quanto tempo t leva para que [A]_0 caia para [A]?

Passo 2

Escrevendo a lei de velocidade para uma reação de segunda ordem do tipo \mathrm{A}\rightarrow produtos:
-\frac{d[A]}{dt}=k\,[A]^2.
Aqui [A] é a concentração de A em função do tempo (unidade \mathrm{mol\;L^{-1}}), t é o tempo (unidade \mathrm{s}) e k é a constante de velocidade (a unidade \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} faz sentido para segunda ordem).

Passo 3

Vamos separar variáveis e integrar para obter a forma integrada da lei:
\int_{[A]_0}^{[A](t)}\frac{d[A]}{[A]^2} = -k\int_{0}^{t} dt.
Essa separação significa que colocamos todos os termos com [A] do lado esquerdo e t do lado direito antes de integrar.

Passo 4

Calcule as integrais. Sabemos que \int [A]^{-2} d[A] = -[A]^{-1}. Aplicando os limites:
\left.-\frac{1}{[A]}\right|_{[A]_0}^{[A](t)} = -k t.
Isso dá
-\frac{1}{[A]} + \frac{1}{[A]_0} = -k t.
Multiplicando por -1 e reorganizando:
\frac{1}{[A]} = \frac{1}{[A]_0} + k t.
Essa é a expressão integrada para cinética de segunda ordem (caso unimolecular em reatante).

Passo 5

Isolamos t para calcular o tempo necessário:
t=\frac{\dfrac{1}{[A]}-\dfrac{1}{[A]_0}}{k}.
Aqui cada termo \dfrac{1}{[A]} tem unidade \mathrm{L\;mol^{-1}}, que ao dividir por k ( \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}) resulta em segundos, como deveria ser.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule \dfrac{1}{[A]} e \dfrac{1}{[A]_0}:
\frac{1}{[A]}=\frac{1}{0,22}=\frac{100}{22}=\frac{50}{11}\approx 4,5454545,
\frac{1}{[A]_0}=\frac{1}{0,88}=\frac{100}{88}=\frac{25}{22}\approx 1,1363636.

Passo 7

Calcule a diferença e divida por k:
\frac{1}{[A]}-\frac{1}{[A]_0}=\frac{50}{11}-\frac{25}{22}=\frac{100-25}{22}=\frac{75}{22}\approx 3,4090909.
Logo
t=\frac{3,4090909}{0,54}\approx 6,313131\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Arredondando para uma casa decimal (como as opções dadas), obtemos t\approx 6,3\\ \mathrm{s}. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 6,3\\ \mathrm{s}

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