Realizando testes experimentais em helicópteros, a fabricante notou que uma de suas aeronaves, ao apresentar falha durante o voo, teve sua trajetória em queda representada por , onde as coordenadas de são medidas em km e é medido em minutos.
a) Calcule o comprimento da trajetória percorrida por esse helicóptero, até a colisão com o solo.
b) Calcule o deslocamento vetorial desse helicóptero, até a colisão com o solo.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede:
a) o comprimento de arco até a colisão com o solo (quando a terceira componente z fica zero);
b) o deslocamento vetorial nesse mesmo intervalo.
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco em ,
e a definição de deslocamento vetorial De<agamma=gamma(tf)-gamma(ti).
Passo 2
Primeiro, achamos o instante tf em que o helicóptero atinge o solo. Como
z(t)=1-t^2,
igualamos a zero e lembramos que t>=0:
1-t^2=0Longrightarrow t=1
Passo 3
Agora calculamos a derivada gamma'(t) e seu módulo. Derivando componente a componente,