Realizando testes experimentais em helicópteros, a fabricante notou que uma de suas aeronaves, ao apresentar falha durante o voo, teve sua trajetória em queda representada por gamma(t)=(2 cos (t^2), 2 sin (t^2), 1-t^2), t >= 0, onde as coordenadas de gamma são medidas em km e t é medido em minutos.
a) Calcule o comprimento da trajetória percorrida por esse helicóptero, até a colisão com o solo.
b) Calcule o deslocamento vetorial desse helicóptero, até a colisão com o solo.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
gamma(t)=l(2cos(t^2),,2sin(t^2),,1-t^2r), t>=0,
e pede:
a) o comprimento de arco até a colisão com o solo (quando a terceira componente z fica zero);
b) o deslocamento vetorial nesse mesmo intervalo.
Vamos usar a fórmula do comprimento de arco em R^3,
L=integralti^tfl|gamma'(t)r|,dt,
e a definição de deslocamento vetorial
De<agamma=gamma(tf)-gamma(ti).

Passo 2

Primeiro, achamos o instante tf em que o helicóptero atinge o solo. Como
z(t)=1-t^2,
igualamos a zero e lembramos que t>=0:
1-t^2=0Longrightarrow t=1

Passo 3

Agora calculamos a derivada gamma'(t) e seu módulo. Derivando componente a componente,
gamma'(t)=l(-4tsin(t^2),,4tcos(t^2),,-2tr)
O módulo é
|gamma'(t)| =raiz(-4tsin(t^2))^2+(4tcos(t^2))^2+(-2t)^2 =raiz16t^2+4t^2 =2raiz5,t

Passo 4

O comprimento de arco de t=0 até t=1 é
L=integral0^12raiz5,t,dt =2raiz5,t^22|0^1 =raiz5(km)

Passo 5

Por fim, calculamos o deslocamento vetorial. Temos
gamma(0)=(2,0,1), gamma(1)=(2cos1,,2sin1,,0),
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De<agamma =gamma(1)-gamma(0) =l(2(cos1-1),,2sin1,,-1r) (km)

Resposta

a) raiz5 km
b) l(2(cos1-1),,2sin1,,-1r) km

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