Seja
a curva parametrizada por
.
a) Encontre
. Interprete geometricamente.
b) Encontre o comprimento
.
a) Encontre
b) Encontre o comprimento
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada por
e pede (a) o limite quando
e (b) o comprimento de
. Vamos usar cálculo de limite em componentes para (a) e a fórmula do comprimento de arco
para (b).
Passo 2
Para
limtto-inftyr(t) calculamos cada componente:
limtto-inftye^tcos t=0 ,
limtto-inftye^tsin t=0 ,
limtto-inftye^t=0 .
Logo
Logo
Passo 3
Geometricamente, conforme
tto-infty a parte radial
e^t tende a zero, então a curva espiralada vai se aproximando da origem no espaço.
Passo 4
Agora achamos
r'(t) . Derivando componente a componente:
O quadrado da norma é
logo
Passo 5
O comprimento de
C é
Resposta
a)
limtto-inftyr(t)=(0,0,0) . Geometricamente, a curva espirala até a origem.
b) O comprimento deC é
raiz3 .
b) O comprimento de