Seja C a curva parametrizada por r(t)=(e^t cos t, e^t sin t, e^t), t <= 0.
a) Encontre lim t -infty r(t). Interprete geometricamente.
b) Encontre o comprimento C.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por
r(t)=l(e^tcos t,;e^tsin t,;e^tr), t<=0,
e pede (a) o limite quando tto-infty e (b) o comprimento de C. Vamos usar cálculo de limite em componentes para (a) e a fórmula do comprimento de arco
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt
para (b).

Passo 2

Para limtto-inftyr(t) calculamos cada componente:
limtto-inftye^tcos t=0,
limtto-inftye^tsin t=0,
limtto-inftye^t=0.
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limtto-inftyr(t)=(0,0,0)

Passo 3

Geometricamente, conforme tto-infty a parte radial e^t tende a zero, então a curva espiralada vai se aproximando da origem no espaço.

Passo 4

Agora achamos r'(t). Derivando componente a componente:
r'(t)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t),;e^tr)
O quadrado da norma é
|r'(t)|^2 =e^2tl[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2+1r] =e^2t(2+1)=3e^2t,
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|r'(t)|=raiz3,e^t

Passo 5

O comprimento de C é
L =integral-infty^0raiz3,e^t,dt =raiz3,l[e^tr]-infty^0 =raiz3,(1-0) =raiz3

Resposta

a) limtto-inftyr(t)=(0,0,0). Geometricamente, a curva espirala até a origem.
b) O comprimento de C é raiz3.

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