Realizar um estudo completo das funções a seguir.
f(x)=x^2-52 x-6

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo da função
f(x)=x^2-52x-6
Isso envolve determinar domínio, interseções com eixos, derivada para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade, zeros e sinal, além de esboçar o gráfico (é uma parábola).

Passo 2

Determinamos domínio e interseções com os eixos:
– Domínio: todo o conjunto dos reais, pois polinômios são definidos em R.
– Interseção com o eixo y: em x=0,
f(0)=0^2-tfrac52cdot0-6=-6
Logo o ponto (0,-6).
– Zeros de f: resolvemos
x^2-tfrac52x-6=0
O discriminante é
De<a=l(-tfrac52r)^2+4cdot6=tfrac254+24=tfrac1214,
raizDe<a=tfrac112,
então
x=tfrac52pmtfrac1122 =5pm114,
resultando em x=-tfrac32 e x=4.

Passo 3

Calculamos a derivada para monotonia e extremo:
f'(x)=2x-52
– Criticidade em f'(x)=0
2x-tfrac52=0implies x=54
– Sinal de f': para x<tfrac54, f'(x)<0 (decrescente); para x>tfrac54, f'(x)>0 (crescente).
Portanto há um mínimo em x=tfrac54. Calculando
fl(tfrac54r) =l(tfrac54r)^2 -tfrac52cdottfrac54-6 =tfrac2516-tfrac258-6 =-tfrac12116
O vértice é l(tfrac54,,-tfrac12116r).

Passo 4

A segunda derivada é
f''(x)=2>0forall xinR,
ou seja, a função é côncava para cima em todo o domínio e o mínimo obtido no vértice é global.

Passo 5

Sinal de f(x): como é uma parábola com coeficiente de x^2 positivo, temos
f(x)>0para x<-tfrac32 ou x>4,
f(x)<0para -tfrac32<x<4,
e f(x)=0 exatamente em x=-tfrac32 e x=4.

Passo 6

Elementos para esboçar o gráfico:
– Vértice em l(tfrac54,,-tfrac12116r).
– Eixo de simetria x=tfrac54.
– Interseções: com x-axis em l(-tfrac32,0r) e (4,0); com y-axis em (0,-6).
– Monotonia decrescente até x=tfrac54, crescente depois.
– Concavidade para cima constante.

Resposta

Domínio: R
Interseções: (0,-6), l(-tfrac32,0r), (4,0)
Vértice: l(tfrac54,,-tfrac12116r)
Eixo de simetria: x=tfrac54
Monotonia: decrescente em (-infty,tfrac54), crescente em (tfrac54,infty)
Concavidade: para cima ( f''=2>0)
Sinal: f(x)>0 em (-infty,-tfrac32)cup(4,infty), f(x)<0 em (-tfrac32,4)

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