Realizar um estudo completo das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo da função
Isso envolve determinar domínio, interseções com eixos, derivada para monotonia e extremos, segunda derivada para concavidade, zeros e sinal, além de esboçar o gráfico (é uma parábola).
Passo 2
Determinamos domínio e interseções com os eixos:
– Domínio: todo o conjunto dos reais, pois polinômios são definidos em .
– Interseção com o eixo : em
,
– Domínio: todo o conjunto dos reais, pois polinômios são definidos em
– Interseção com o eixo
Logo o ponto
.
– Zeros de : resolvemos
– Zeros de
O discriminante é
então
resultando em
e
.
Passo 3
Calculamos a derivada para monotonia e extremo:
– Criticidade em
dá
– Sinal de
: para
,
(decrescente); para
,
(crescente).
Portanto há um mínimo em . Calculando
Portanto há um mínimo em
O vértice é
.
Passo 4
A segunda derivada é
ou seja, a função é côncava para cima em todo o domínio e o mínimo obtido no vértice é global.
Passo 5
Sinal de
: como é uma parábola com coeficiente de
positivo, temos
e
exatamente em
e
.
Passo 6
Elementos para esboçar o gráfico:
– Vértice em .
– Eixo de simetria .
– Interseções: com -axis em
e
; com
-axis em
.
– Monotonia decrescente até , crescente depois.
– Concavidade para cima constante.
– Vértice em
– Eixo de simetria
– Interseções: com
– Monotonia decrescente até
– Concavidade para cima constante.
Resposta
Domínio:
Interseções: ,
,
Vértice:
Eixo de simetria:
Monotonia: decrescente em , crescente em
Concavidade: para cima ( )
Sinal: em
,
em
Interseções:
Vértice:
Eixo de simetria:
Monotonia: decrescente em
Concavidade: para cima (
Sinal: