Utilizando o método de integração de funções racionais por frações parciais, determinar:
integral 3 d xx^2-9

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 3x^2-9,dx
usando o método de frações parciais, ou seja, vamos decompor essa função racional de grau do numerador menor que a do denominador em somas de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2-9 = (x-3)(x+3)
Em seguida, montamos a decomposição
3(x-3)(x+3) = Ax-3 + Bx+3
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x+3) obtemos a identidade
A(x+3) + B(x-3) = 3

Passo 3

Para descobrir A e B podemos usar valores estratégicos de x:
  • Se x=3, então Acdot6 = 3, logo A=tfrac12.
  • Se x=-3, então Bcdot(-6)=3, logo B=-tfrac12.

Passo 4

Substituindo A e B na integral, fica
integral 3x^2-9,dx = integral l(tfrac12x-3 - tfrac12x+3r),dx = 12integral dxx-3 - 12integral dxx+3
Aqui usamos que
integral dxx-a = lnl|x-ar| + C

Passo 5

Integrando cada termo e juntando os logaritmos, temos
12lnl|x-3r| - 12lnl|x+3r| + C = 12ln!l|x-3x+3r| + C

Resposta

12ln!l|x-3x+3r| + C

Exercícios relacionados