Utilizando o método de integração por partes, calcular:
integral x cdot ln 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x ,ln(2x),dx
usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar escolher uma função u cuja derivada seja mais simples e uma diferencial dv que seja fácil de integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = ln(2x)
e
dv = x,dx.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas e antiderivadas necessárias:
du = ddxl(ln(2x)r),dx = 1x,dx,
v = integral x,dx = x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = uv - integral v,du
temos
integral x,ln(2x),dx = x^22,ln(2x) - integral x^22,1x,dx

Passo 5

Simplificamos a segunda integral:
integral x^22,1x,dx = integral x2,dx = x^24

Passo 6

Substituindo de volta, concluímos:
integral x,ln(2x),dx = x^22,ln(2x) - x^24 + C

Resposta

boxedintegral x,ln(2x),dx = x^22,ln(2x) - x^24 + C

Exercícios relacionados