Realize o ajuste de curvas para os conjuntos de pontos tabelados a seguir, utilizando-se o Método dos Quadrados Mínimos.
Já para a letra (b), utilize a função g_{1}=e^{x}.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) -2,286 -2,317 1,137 -4,188 -0,989 -3,9 5,911 2,997 19,403 52,69

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com 10 pontos (x_i,f(x_i)) e pede que se realize ajuste por mínimos quadrados. Os dados fornecidos são (peguei os números da tabela do enunciado):
  • Pontos (x_i,f_i) com
\begin{array}{cccccccccc} x_i & -5 & -4 & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array}
\begin{array}{cccccccccc} f_i & -2,286 & -2,317 & 1,137 & -4,188 & -0,989 & -3,9 & 5,911 & 2,997 & 19,403 & 52,69 \end{array}
As perguntas que vou responder (escolhi um caminho natural e simples, compatível com a indicação do enunciado sobre a letra (b)):
  • (a) Ajustar por mínimos quadrados um modelo linear em x do tipo \hat f(x)=A+Bx.
  • (b) Ajustar por mínimos quadrados um modelo do tipo \hat f(x)=C\;e^{x} (o enunciado pediu explicitamente usar g_1=e^{x}, o que corresponde a ajustar um único coeficiente multiplicativo C nessa base).
Vou apresentar, passo a passo, a teoria necessária (como montar as equações normais), calcular as somas necessárias a partir dos dados e resolver para os coeficientes de cada ajuste. No final devolvo as equações ajustadas (apenas elas na seção de resposta).

Passo 2

Revisão didática rápida do método dos quadrados mínimos (linear em parâmetros).
  • Objetivo: encontrar parâmetros que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos
S(A,B)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(f_i-(A+Bx_i)\bigr)^2.
  • Para um modelo linear em A,B\) as condições de mínimo (derivadas parciais nulas) levam às equações normais: \[\begin{cases} nA + \bigl(\sum_{i} x_i\bigr) B = \sum_{i} f_i,\\[4pt] \bigl(\sum_{i} x_i\bigr) A + \bigl(\sum_{i} x_i^2\bigr) B = \sum_{i} x_i f_i. \end{cases}
  • Aqui n\] é o número de pontos, \(x_i são as abscissas e f_i os valores observados. Essas equações são uma forma de escrever (X^\top X)\beta=X^\top y para regressão linear.
Vou calcular as somas \sum x_i,\\ \sum x_i^2,\\ \sum f_i,\\ \sum x_i f_i com os dados fornecidos e resolver o sistema acima.]

Passo 3

Cálculo das somas para o ajuste linear [\hat f(x)=A+Bx).
Calculei (somando os valores da tabela):
n=10, \qquad \sum_{i=1}^{10} x_i = -5, \qquad \sum_{i=1}^{10} x_i^2 = 85,
\sum_{i=1}^{10} f_i = 68,458, \qquad \sum_{i=1}^{10} x_i f_i = 307,526.
Explicação curta de como esses números foram obtidos: somei todos os x_i para obter \sum x_i; somei x_i^2 para \sum x_i^2; somei todos os f_i para \sum f_i; e calculei cada produto x_i f_i e somei para \sum x_i f_i. (Esses são os termos que entram nas equações normais.)
As equações normais ficam:
\begin{cases} 10A -5B = 68,458,\\[4pt] -5A +85B = 307,526. \end{cases}
Resolvo algebraicamente: da primeira (A = \dfrac{68,458+5B}{10}=6,8458+0,5B]. Substituindo na segunda:
-5(6,8458+0,5B)+85B = 307,526.
Desenvolvendo:
-34,229 -2,5B +85B = 307,526
82,5B = 341,755
B = \dfrac{341,755}{82,5}\approx 4,142485.
Então
A = 6,8458 + 0,5\cdot 4,142485 \approx 8,917042.
Portanto o ajuste linear é
\hat f(x)=8,917042 + 4,142485\,x.]

Passo 4

Agora o ajuste do tipo \hat f(x)=C\,e^{x} (linear no parâmetro C).
  • Método: minimizar S\text{(C)}=\sum_{i}(f_i - C e^{x_i})^2. Como o modelo é linear em C, a equação normal é
C\sum_{i} e^{2x_i} = \sum_{i} f_i e^{x_i},
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C = \dfrac{\sum_{i} f_i e^{x_i}}{\sum_{i} e^{2x_i}}.
Preciso calcular \sum e^{2x_i} e \sum f_i e^{x_i}. Usei valores de e^{x_i} (p. ex. e^{-5}\approx 0,006737947,\\ e^{4}\approx54,59815003) e calculei:
\sum_{i=1}^{10} e^{2x_i} \approx 3447,530497, \qquad \sum_{i=1}^{10} f_i e^{x_i} \approx 3299,89653.
Portanto
C \approx \dfrac{3299,89653}{3447,530497}\approx 0,957218.
Então o ajuste exponencial pedido (usando g_1=e^{x}) é
\hat f(x)=0,957218\,e^{x}.

Passo 5

Interpretação prática rápida e comparação (didática e motivadora):
  • O ajuste linear \hat f(x)=8,917042+4,142485x é a melhor reta no sentido de mínimos quadrados, mas observa-se que os valores observados crescem muito para x positivos (por exemplo f(4)=52,69), o que leva grande erro para a reta.
  • O ajuste exponencial \hat f(x)=0,957218\,e^{x} segue a subida exponencial dos dados e, como verificação, a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) é muito menor para o modelo exponencial (aproximadamente 83,7) do que para o modelo linear (aproximadamente 1357,9). Isso confirma quantitativamente que o modelo exponencial se ajusta muito melhor aos dados fornecidos.
Se ficar inseguro na prova: para um modelo que é linear nos parâmetros (mesmo que não linear em x) sempre escreva o problema na forma linear em coeficientes (ex.: C\,e^x é linear em C), calcule as somas \sum g_j g_k e \sum f g_j (no caso de uma única base g_1 ficam as duas somas acima) e resolva a equação normal. Para regressão reta use as somas usuais \sum x,\sum x^2,\sum y,\sum xy e resolva as duas equações normais; calcule SSE para comparar modelos quando for necessário avaliar qual é melhor.

Resposta

(a) \hat f(x)=8,917042+4,142485\,x
(b) \hat f(x)=0,957218\,e^{x}

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