Realize o ajuste de curvas para os conjuntos de pontos tabelados a seguir, utilizando-se o Método dos Quadrados Mínimos.
Já para a letra (b), utilize a função
.
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1,137
5,911
2,997
19,403
52,69
Já para a letra (b), utilize a função
| x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
|
1,137 |
|
|
|
5,911 | 2,997 | 19,403 | 52,69 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com 10 pontos
e pede que se realize ajuste por mínimos quadrados. Os dados fornecidos são (peguei os números da tabela do enunciado):
- Pontos
com
As perguntas que vou responder (escolhi um caminho natural e simples, compatível com a indicação do enunciado sobre a letra (b)):
- (a) Ajustar por mínimos quadrados um modelo linear em
do tipo . - (b) Ajustar por mínimos quadrados um modelo do tipo
(o enunciado pediu explicitamente usar , o que corresponde a ajustar um único coeficiente multiplicativo nessa base).
Vou apresentar, passo a passo, a teoria necessária (como montar as equações normais), calcular as somas necessárias a partir dos dados e resolver para os coeficientes de cada ajuste. No final devolvo as equações ajustadas (apenas elas na seção de resposta).
Passo 2
Revisão didática rápida do método dos quadrados mínimos (linear em parâmetros).
- Objetivo: encontrar parâmetros que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos
- Para um modelo linear em
- Aqui
são as abscissas e
os valores observados. Essas equações são uma forma de escrever para regressão linear.
Vou calcular as somas
com os dados fornecidos e resolver o sistema acima.]
Passo 3
Cálculo das somas para o ajuste linear [\hat f(x)=A+Bx).
Calculei (somando os valores da tabela):
Explicação curta de como esses números foram obtidos: somei todos os
para obter
; somei
para
; somei todos os
para
; e calculei cada produto
e somei para
. (Esses são os termos que entram nas equações normais.)
As equações normais ficam:
Resolvo algebraicamente: da primeira (A = \dfrac{68,458+5B}{10}=6,8458+0,5B]. Substituindo na segunda:
Desenvolvendo:
Então
Portanto o ajuste linear é
Passo 4
Agora o ajuste do tipo
(linear no parâmetro
).
- Método: minimizar
. Como o modelo é linear em , a equação normal é
logo
Preciso calcular
e
. Usei valores de
(p. ex.
) e calculei:
Portanto
Então o ajuste exponencial pedido (usando
) é
Passo 5
Interpretação prática rápida e comparação (didática e motivadora):
- O ajuste linear
é a melhor reta no sentido de mínimos quadrados, mas observa-se que os valores observados crescem muito para positivos (por exemplo ), o que leva grande erro para a reta. - O ajuste exponencial
segue a subida exponencial dos dados e, como verificação, a soma dos quadrados dos resíduos (SSE) é muito menor para o modelo exponencial (aproximadamente ) do que para o modelo linear (aproximadamente ). Isso confirma quantitativamente que o modelo exponencial se ajusta muito melhor aos dados fornecidos.
Se ficar inseguro na prova: para um modelo que é linear nos parâmetros (mesmo que não linear em
) sempre escreva o problema na forma linear em coeficientes (ex.:
é linear em
), calcule as somas
e
(no caso de uma única base
ficam as duas somas acima) e resolva a equação normal. Para regressão reta use as somas usuais
e resolva as duas equações normais; calcule SSE para comparar modelos quando for necessário avaliar qual é melhor.
Resposta
(a)
(b)
(b)