Realize o ajuste de curvas para os conjuntos de pontos tabelados a seguir, utilizando-se o Método dos Quadrados Mínimos.
Para a letra (a), utilize as funções g_{1}=x^{2} e g_{2}=1.
x
-0,75
-0,6
-0,5
-0,3
0
0,2
0,4
0,5
0,7
f(x)
3,153
2,45
2,4
2,50
2
2,2
2,6
2,512
3,2
Passo 1
O enunciado pede ajustar por mínimos quadrados uma função da forma combinação linear das bases g_{1}=x^{2} e g_{2}=1. Ou seja, encontrar constantes a e b tais que o polinômio
\hat f(x)=a\,x^{2}+b
aproxime da melhor forma (em soma de quadrados dos erros) os pontos tabelados.
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida; os pares (x,f(x)) são:
O objetivo final: calcular a e b e escrever \hat f(x)=a x^{2}+b.
Passo 2
Explicando a ideia (passo a passo, sem pular): para um modelo linear nos parâmetros
\hat f(x)=a\,x^{2}+b
definimos o erro em cada ponto i\) como \(r_{i}=y_{i}-a x_{i}^{2}-b\), onde \(y_{i}=f(x_{i})\). O método dos mínimos quadrados escolhe \(a\) e \(b\) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
\[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n} r_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_{i}-a x_{i}^{2}-b\bigr)^{2}.
Para minimizar S em relação a a e b derivamos parcialmente e igualamos a zero (condição necessária). Isso gera o sistema normal:
onde n\] é o número de pontos. Essas duas equações formam um sistema \(2\times2 para a e b.
Breve explicação do que cada soma representa:
\sum_{i} x_{i}^{2} é a soma dos quadrados das abscissas;
\sum_{i} x_{i}^{4} é a soma das quartas potências das abscissas;
\sum_{i} x_{i}^{2}y_{i} acopla y com x^{2};
\sum_{i} y_{i} é a soma das ordenadas.]
Passo 3
Agora calculamos as somas necessárias a partir dos dados (novamente: peguei os x_{i} e y_{i} da tabela). Para cada ponto computei x_{i}^{2}, x_{i}^{4} e x_{i}^{2}y_{i}; somando tudo obtive:
(Se quiser conferir, os termos individuais que somei foram: para x^{2} — 0{,}5625,\;0{,}36,\;0{,}25,\;0{,}09,\;0,\;0{,}04,\;0{,}16,\;0{,}25,\;0{,}49; para x^{4} e x^{2}y usei os produtos correspondentes ponto a ponto.)]
Passo 4
Substituindo essas somas nas equações normais obtemos o sistema numérico
(Verificação rápida: substituindo a e b na primeira equação a igualdade fica satisfeita dentro dos erros de arredondamento apresentados.)]
Passo 5
Interpretação final: os coeficientes encontrados definem o ajuste por mínimos quadrados dentro da família a x^{2}+b. O procedimento mostra como montar as equações normais a partir das somas dos dados e resolver um sistema 2\times2 para obter a e b. Na prova: faça a tabela com x^{2}, x^{4} e x^{2}y, some tudo, monte as normais e resolva o sistema — é direto e rápido para duas bases.