Realize o ajuste de curvas para os conjuntos de pontos tabelados a seguir, utilizando-se o Método dos Quadrados Mínimos.
Para a letra (a), utilize as funções g_{1}=x^{2} e g_{2}=1.
x -0,75 -0,6 -0,5 -0,3 0 0,2 0,4 0,5 0,7
f(x) 3,153 2,45 2,4 2,50 2 2,2 2,6 2,512 3,2

Passo 1

O enunciado pede ajustar por mínimos quadrados uma função da forma combinação linear das bases g_{1}=x^{2} e g_{2}=1. Ou seja, encontrar constantes a e b tais que o polinômio
\hat f(x)=a\,x^{2}+b
aproxime da melhor forma (em soma de quadrados dos erros) os pontos tabelados.
Peguei os dados diretamente da tabela fornecida; os pares (x,f(x)) são:
\begin{array}{l} (-0{,}75,\;3{,}153),\\\ (-0{,}6,\;2{,}45),\\\ (-0{,}5,\;2{,}4),\\\ (-0{,}3,\;2{,}50),\\\ (0,\;2),\\\ (0{,}2,\;2{,}2),\\\ (0{,}4,\;2{,}6),\\\ (0{,}5,\;2{,}512),\\\ (0{,}7,\;3{,}2). \end{array}
O objetivo final: calcular a e b e escrever \hat f(x)=a x^{2}+b.

Passo 2

Explicando a ideia (passo a passo, sem pular): para um modelo linear nos parâmetros
\hat f(x)=a\,x^{2}+b
definimos o erro em cada ponto i\) como \(r_{i}=y_{i}-a x_{i}^{2}-b\), onde \(y_{i}=f(x_{i})\). O método dos mínimos quadrados escolhe \(a\) e \(b\) que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos: \[S(a,b)=\sum_{i=1}^{n} r_{i}^{2}=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_{i}-a x_{i}^{2}-b\bigr)^{2}.
Para minimizar S em relação a a e b derivamos parcialmente e igualamos a zero (condição necessária). Isso gera o sistema normal:
\frac{\partial S}{\partial a}= -2\sum_{i} x_{i}^{2}\bigl(y_{i}-a x_{i}^{2}-b\bigr)=0, \qquad \frac{\partial S}{\partial b}= -2\sum_{i}\bigl(y_{i}-a x_{i}^{2}-b\bigr)=0.
Reescrevendo, obtemos as equações lineares
\begin{cases} \displaystyle a\sum_{i} x_{i}^{4}+b\sum_{i} x_{i}^{2}=\sum_{i} x_{i}^{2}y_{i},\\[6pt] \displaystyle a\sum_{i} x_{i}^{2}+b\,n=\sum_{i} y_{i}, \end{cases}
onde n\] é o número de pontos. Essas duas equações formam um sistema \(2\times2 para a e b.
Breve explicação do que cada soma representa:
  • \sum_{i} x_{i}^{2} é a soma dos quadrados das abscissas;
  • \sum_{i} x_{i}^{4} é a soma das quartas potências das abscissas;
  • \sum_{i} x_{i}^{2}y_{i} acopla y com x^{2};
  • \sum_{i} y_{i} é a soma das ordenadas.]

Passo 3

Agora calculamos as somas necessárias a partir dos dados (novamente: peguei os x_{i} e y_{i} da tabela). Para cada ponto computei x_{i}^{2}, x_{i}^{4} e x_{i}^{2}y_{i}; somando tudo obtive:
\begin{aligned} n&=9,\\[4pt] \sum_{i=1}^{9} x_{i}^{2}&=2{,}2025,\\[4pt] \sum_{i=1}^{9} x_{i}^{4}&=0{,}84640625,\\[4pt] \sum_{i=1}^{9} y_{i}&=23{,}015,\\[4pt] \sum_{i=1}^{9} x_{i}^{2}y_{i}&=6{,}1805625. \end{aligned}
(Se quiser conferir, os termos individuais que somei foram: para x^{2} 0{,}5625,\;0{,}36,\;0{,}25,\;0{,}09,\;0,\;0{,}04,\;0{,}16,\;0{,}25,\;0{,}49; para x^{4} e x^{2}y usei os produtos correspondentes ponto a ponto.)]

Passo 4

Substituindo essas somas nas equações normais obtemos o sistema numérico
\begin{cases} 0{,}84640625\,a+2{,}2025\,b=6{,}1805625,\\[6pt] 2{,}2025\,a+9\,b=23{,}015. \end{cases}
Vamos resolver esse sistema 2×2. Usando determinantes (fórmula de Cramer):
D=\begin{vmatrix}0{,}84640625 & 2{,}2025\\[2pt] 2{,}2025 & 9\end{vmatrix} =0{,}84640625\cdot 9 - 2{,}2025^{2}.
Calculando:
0{,}84640625\cdot 9=7{,}61765625,\qquad 2{,}2025^{2}=4{,}85100625,
logo
D=7{,}61765625-4{,}85100625=2{,}76665.
Determinante substituindo a primeira coluna pelo vetor do lado direito:
D_{a}=\begin{vmatrix}6{,}1805625 & 2{,}2025\\[2pt] 23{,}015 & 9\end{vmatrix} =6{,}1805625\cdot 9 - 23{,}015\cdot 2{,}2025.
Calculando:
6{,}1805625\cdot 9=55{,}6250625,\qquad 23{,}015\cdot 2{,}2025=50{,}6905375,
logo
D_{a}=55{,}6250625-50{,}6905375=4{,}934525.
Portanto
a=\frac{D_{a}}{D}=\frac{4{,}934525}{2{,}76665}\approx 1{,}7840.
Para b podemos usar b=(\sum y - a\sum x^{2})/n. Calculando:
b=\frac{23{,}015 - (2{,}2025)\cdot a}{9} =\frac{23{,}015 - 2{,}2025\cdot 1{,}7840}{9}\approx 2{,}1206.
(Verificação rápida: substituindo a e b na primeira equação a igualdade fica satisfeita dentro dos erros de arredondamento apresentados.)]

Passo 5

Interpretação final: os coeficientes encontrados definem o ajuste por mínimos quadrados dentro da família a x^{2}+b. O procedimento mostra como montar as equações normais a partir das somas dos dados e resolver um sistema 2\times2 para obter a e b. Na prova: faça a tabela com x^{2}, x^{4} e x^{2}y, some tudo, monte as normais e resolva o sistema — é direto e rápido para duas bases.

Resposta

\hat f(x)=1{,}7840\,x^{2}+2{,}1206

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