Encontre a função polinomial p_{n}(x) que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. E as letras (e) e (f) utilizando-se a Forma de Newton.
x -2 -1 0 1
f(x) -2 2 4 10

Passo 1

Os pontos dados são:
(x_0,f_0)=(-2,-2),\quad (x_1,f_1)=(-1,2),\quad (x_2,f_2)=(0,4),\quad (x_3,f_3)=(1,10).
O que se pede: encontrar a função polinomial p_n(x) que interpole esses pontos, sendo da maior ordem possível (aqui, com quatro pontos, a maior ordem é grau no máximo 3). Além disso, apresentar a Forma de Newton (coeficientes e produto de fatores) — isto é, montar o polinômio interpolador em forma de Newton.

Passo 2

Rápida aula sobre a Forma de Newton (do jeitinho que dá para usar na prova).
  • A Forma de Newton do polinômio interpolador de grau \le n usando nós x_0,x_1,\dots,x_n é
p_n(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots,
onde f[x_i] são os valores f(x_i) e f[x_i,\dots,x_{i+k}] são as diferenças divididas.
  • A diferença dividida de ordem 1 é
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}.
  • A diferença dividida de ordem k é definida recursivamente por
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Esses coeficientes são exatamente os coeficientes da Forma de Newton. Vou calcular as diferenças divididas passo a passo.

Passo 3

Anoto os nós e valores para facilitar:
x_0=-2,\; f[x_0]=f_0=-2; \qquad x_1=-1,\; f[x_1]=f_1=2; \qquad x_2=0,\; f[x_2]=f_2=4; \qquad x_3=1,\; f[x_3]=f_3=10.

Passo 4

Calculo as diferenças divididas de primeira ordem:
f[x_0,x_1]=\frac{f_1-f_0}{x_1-x_0}=\frac{2-(-2)}{-1-(-2)}=\frac{4}{1}=4.
f[x_1,x_2]=\frac{f_2-f_1}{x_2-x_1}=\frac{4-2}{0-(-1)}=\frac{2}{1}=2.
f[x_2,x_3]=\frac{f_3-f_2}{x_3-x_2}=\frac{10-4}{1-0}=\frac{6}{1}=6.

Passo 5

Calculo as diferenças divididas de segunda ordem:
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{2-4}{0-(-2)}=\frac{-2}{2}=-1.
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}=\frac{6-2}{1-(-1)}=\frac{4}{2}=2.

Passo 6

Calculo a diferença dividida de terceira ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{2-(-1)}{1-(-2)}=\frac{3}{3}=1.

Passo 7

Agora tenho os coeficientes para a Forma de Newton:
f[x_0]=-2,\quad f[x_0,x_1]=4,\quad f[x_0,x_1,x_2]=-1,\quad f[x_0,x_1,x_2,x_3]=1.
Portanto a Forma de Newton do polinômio interpolador de grau 3 é
\begin{aligned} p_3(x)={}&-2+4(x-(-2))+(-1)(x-(-2))(x-(-1))\\\ &\quad +1\,(x-(-2))(x-(-1))(x-0). \end{aligned}
Ou, escrevendo os sinais mais simples,
p_3(x)=-2+4(x+2)- (x+2)(x+1)+ (x+2)(x+1)x.

Passo 8

Vou expandir passo a passo para achar a forma polinomial padrão (útil na prova para checar rapidamente):
Calcule 4(x+2)=4x+8. Somando com -2 4x+6.
Calcule -(x+2)(x+1)=-(x^2+3x+2)=-x^2-3x-2.
Somando com 4x+6 -x^2 + x +4.
Calcule (x+2)(x+1)x = x(x^2+3x+2)=x^3+3x^2+2x.
Somando com -x^2 + x +4 resulta
p_3(x)=x^3+2x^2+3x+4.

Passo 9

Verificação rápida nos nós (só para garantir que tudo bate; útil para prova):
p_3(-2)=(-8)+8-6+4=-2,
p_3(-1)=(-1)+2-3+4=2,
p_3(0)=4,
p_3(1)=1+2+3+4=10.
Os valores conferem com a tabela, então o polinômio está correto.

Resposta

p_3(x)=-2+4(x+2)- (x+2)(x+1)+ (x+2)(x+1)x
p_3(x)=x^3+2x^2+3x+4

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