Encontre a função polinomial
que interpole os pontos tabelados a seguir, sendo ela da maior ordem possível. E as letras (e) e (f) utilizando-se a Forma de Newton.
x
-2
-1
0
1
-2
2
4
10
| x | -2 | -1 | 0 | 1 |
|
|
-2 | 2 | 4 | 10 |
Passo 1
Os pontos dados são:
O que se pede: encontrar a função polinomial
que interpole esses pontos, sendo da maior ordem possível (aqui, com quatro pontos, a maior ordem é grau no máximo
). Além disso, apresentar a Forma de Newton (coeficientes e produto de fatores) — isto é, montar o polinômio interpolador em forma de Newton.
Passo 2
Rápida aula sobre a Forma de Newton (do jeitinho que dá para usar na prova).
- A Forma de Newton do polinômio interpolador de grau
usando nós é
onde
são os valores
e
são as diferenças divididas.
- A diferença dividida de ordem
é
- A diferença dividida de ordem
é definida recursivamente por
Esses coeficientes são exatamente os coeficientes da Forma de Newton. Vou calcular as diferenças divididas passo a passo.
Passo 3
Anoto os nós e valores para facilitar:
Passo 4
Calculo as diferenças divididas de primeira ordem:
Passo 5
Calculo as diferenças divididas de segunda ordem:
Passo 6
Calculo a diferença dividida de terceira ordem:
Passo 7
Agora tenho os coeficientes para a Forma de Newton:
Portanto a Forma de Newton do polinômio interpolador de grau
é
Ou, escrevendo os sinais mais simples,
Passo 8
Vou expandir passo a passo para achar a forma polinomial padrão (útil na prova para checar rapidamente):
Calcule . Somando com
dá
.
Calcule .
Somando com dá
.
Calcule .
Somando com resulta
Calcule
Calcule
Somando com
Calcule
Somando com
Passo 9
Verificação rápida nos nós (só para garantir que tudo bate; útil para prova):
Os valores conferem com a tabela, então o polinômio está correto.