Realize as divisões abaixo:
x^4+x^3-3 x^2+x+2x+2

Passo 1

Beleza, a gente precisa dividir o polinômio x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2 pelo binômio x + 2. O assunto é divisão de polinômios, e como o divisor é linear, vamos usar o método da divisão sintética (ou método de Briot-Ruffini).

Passo 2

No método sintético, a gente transforma x + 2 na raiz r = -2. Anota os coeficientes do polinômio: 1, 1, -3, 1 e 2, que correspondem aos termos x^4, x^3, x^2, x e constante, respectivamente. Vamos montar a tabela usando esses valores e o r.

Passo 3

Agora vem a parte mecânica: trazemos o 1 direto para baixo; multiplicamos por -2 (dá -2) e somamos ao próximo coeficiente (1), resultando em -1; multiplicamos -1 por -2 (dá 2) e somamos a -3, resultando em -1; multiplicamos -1 por -2 (dá 2) e somamos a 1, resultando em 3; finalmente, multiplicamos 3 por -2 (dá -6) e somamos a 2, resultando em -4, que é o resto.

Passo 4

Os números que ficaram embaixo (exceto o último) são os coeficientes do quociente: 1, -1, -1, 3, ou seja, o quociente é x^3 - x^2 - x + 3. O -4 final é o resto.
Dessa forma, podemos escrever
x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2 = (x+2)(x^3 - x^2 - x + 3) - 4
e, dividindo,
x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2x+2 = x^3 - x^2 - x + 3 - 4x+2

Resposta

[\n\frac{x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2}{x+2} = x^3 - x^2 - x + 3 - \frac{4}{x+2}\n]

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