Realize os seguintes cálculos: (i) exatatamente e (ii) utilizando aritmética com arredondamento de três dígitos em cada operação. (iii) Calcule os erros relativos na parte (ii).
\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{3}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a expressão \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{3}:
  • (i) calcular exatamente;
  • (ii) calcular usando aritmética com arredondamento de 3 dígitos em cada operação (ou seja, após cada operação aritmética arredondar o resultado para 3 dígitos significativos);
  • (iii) calcular o(s) erro(s) relativo(s) do resultado obtido em (ii) em relação ao resultado exato.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{3}.
  • Regra de arredondamento: usar 3 dígitos significativos em cada operação; arredondar normalmente (se o dígito seguinte for \geq 5 arredonda para cima, caso contrário arredonda para baixo).

Passo 2

Cálculo exatamente — conceito e operação:
  • Para multiplicar frações, multiplica-se numeradores entre si e denominadores entre si. Ou seja, para \dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}.
    Aplicando aqui:
\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{4\cdot 1}{5\cdot 3}=\dfrac{4}{15}.
  • Essa fração já está na forma irredutível (não dá para simplificar mais).
  • Em forma decimal, \dfrac{4}{15}=0,2666\ldots (o 6 se repete indefinidamente). Vou escrever isso como 0,2666\ldots ou 0,2\overline{6}.

Passo 3

Explicando a aritmética com arredondamento de 3 dígitos significativos:
  • “Arredondamento de 3 dígitos significativos” significa manter três algarismos a partir do primeiro não nulo e arredondar com base no quarto algarismo.
  • A instrução “arredondar em cada operação” implica que, se for preciso dividir ou multiplicar em etapas, a cada resultado intermédio deve-se arredondar para 3 dígitos significativos antes de usar esse resultado na próxima operação.
  • Estratégia prática conveniente aqui: calcular separadamente \dfrac{4}{5} e \dfrac{1}{3} (cada uma é uma operação de divisão) arredondá-las a 3 dígitos e depois multiplicar esses valores arredondados, arredondando o produto final também a 3 dígitos.

Passo 4

Calcular e arredondar os fatores separadamente:
  • Calcular \dfrac{4}{5}. Fazendo a divisão:
\dfrac{4}{5}=0,8.
Escrevendo com 3 dígitos significativos convém preencher zeros à direita para mostrar os três dígitos: 0,800. (Aqui não há perda de informação: 0,8 exato = 0,800.)
  • Calcular \dfrac{1}{3}. Em decimal:
\dfrac{1}{3}=0,333333\ldots
Arredondando para 3 dígitos significativos: o quarto dígito é 3<5, então
\dfrac{1}{3}\approx 0,333\\ (\text{arredondado a 3 dígitos}).í

Passo 5

Multiplicar os valores arredondados e arredondar o produto:
  • Produto dos valores arredondados:
0,800\times 0,333 = 0,2664.
  • Agora arredondar esse resultado a 3 dígitos significativos. Os três primeiros dígitos significativos de 0,2664 são 2,6,6; o quarto dígito é 4<5, então arredonda-se para baixo:
0,2664 \approx 0,266\\ (\text{a 3 dígitos significativos}).í
Portanto o resultado obtido pela aritmética com arredondamento em cada operação é 0,266.

Passo 6

Cálculo do erro absoluto e do erro relativo (definições e aplicação):
  • Definição de erro absoluto: se x_{\text{exato}} é o valor exato e x_{\text{aprx}} é a aproximação, o erro absoluto é
\text{erro absoluto} = \left|x_{\text{exato}}-x_{\text{aprx}}\right|.
  • Definição de erro relativo: é o erro absoluto dividido pelo valor exato (assumindo x_{\text{exato}}\neq 0):
\text{erro relativo} = \frac{\left|x_{\text{exato}}-x_{\text{aprx}}\right|}{\left|x_{\text{exato}}\right|}.
Aplicando ao nosso caso:
  • x_{\text{exato}}=\dfrac{4}{15}.
  • x_{\text{aprx}}=0,266=\dfrac{266}{1000}=\dfrac{133}{500}.
Calcular o erro absoluto em frações para ficar exato:
\left|\dfrac{4}{15}-\dfrac{133}{500}\right| = \left|\dfrac{400}{1500}-\dfrac{399}{1500}\right| =\dfrac{1}{1500}.
Observação: para obter \dfrac{400}{1500} foi multiplicar \dfrac{4}{15} por \dfrac{100}{100}; e \dfrac{133}{500}=\dfrac{399}{1500} multiplicando por \dfrac{3}{3}.
Agora o erro relativo:
\text{erro relativo} = \frac{\dfrac{1}{1500}}{\dfrac{4}{15}} = \dfrac{1}{1500}\cdot\dfrac{15}{4} = \dfrac{15}{6000} = \dfrac{1}{400}.
Em forma decimal:
\dfrac{1}{400}=0,0025.
Em porcentagem:
0,0025=0,25\%.

Passo 7

Interpretação curta e ânimo:
  • Resumo prático: fazer as divisões primeiro, arredondar cada uma a 3 dígitos significativos e depois multiplicar (arredondando o produto) é um procedimento padrão quando o enunciado pede arredondamento a cada operação.
  • O erro relativo encontrado é pequeno: 0,25\%. Isso significa que a aproximação 0,266 está muito próxima do valor exato 0,2666\ldots. Força aí — pequenos arredondamentos frequentemente geram erros bem controlados como esse.

Resposta

(i) \dfrac{4}{15}=0,2666\ldots
(ii) 0,266
(iii) \text{erro relativo}=\dfrac{1}{400}=0,0025=0,25\%

Exercícios relacionados