Realize as seguintes transformações:
Converta os números 0,625_{10}, 7,5_{10}, 88,7_{10} para a base 2.
Passo 1
O enunciado pede para converter para a base 2 os números 0,625_{10}, 7,5_{10} e 88,7_{10}.
Informações dadas: os três números estão em base decimal (_{10}) e queremos suas representações em base binária (_{2}).
Passo 2
Como transformar a parte inteira de um número decimal para binário (método por divisões sucessivas).
Regra: dada a parte inteira N, dividimos por 2 repetidamente escrevendo as divisões
N = 2q + r,\qquad r\in\{0,1\},
onde q é o quociente inteiro e r é o resto. Cada resto r é um dígito binário (bit). Os bits são obtidos do último resto para o primeiro (ou seja, do último quociente não nulo para o primeiro). Exemplo conceitual: se os restos, na ordem das divisões, forem r_1,r_2,\dots,r_k (com r_1 do primeiro passo), o número binário é \dots r_k r_{k-1}\dots r_1 (lido de baixo para cima).
Passo 3
Aplicando o método da parte inteira ao número 88 (parte inteira de 88,7). Faço as divisões e anoto restos:
Os restos lidos de baixo para cima são 1,0,1,1,0,0,0. Portanto a parte inteira 88 em binário é 1011000_2. (Verificação rápida: 1\cdot 2^6+0\cdot2^5+1\cdot2^4+1\cdot2^3=64+16+8=88.)
Passo 4
Como transformar a parte fracionária de um número decimal para binário (método por multiplicações sucessivas).
Regra: dada a parte fracionária f com 0\le f<1, multiplicamos por 2 repetidamente e a cada passo o bit gerado é a parte inteira do produto:
onde f_0=f, \lfloor\cdot\rfloor é parte inteira e \{\cdot\} é a parte fracionária. Continuamos até f_k=0 (termina exato) ou até perceber repetição (dizemos que a expansão é periódica). Os bits gerados, em ordem, formam a sequência após a vírgula na base 2.
Resto lido de baixo para cima: 1,1,1. Então 7_{10}=111_2.
Parte fracionária 0{,}5 por multiplicações:
0{,}5\cdot 2 = 1{,}0 \Rightarrow b_1=1,\\ f_1=0.
Termina imediatamente com um único bit 1. Portanto a parte fracionária é ,1_2.
Juntando:
7{,}5_{10}=111{,}1_2.
Passo 7
Converter 88,7_{10}. Já converti a parte inteira 88 no Passo 3 e obtive 1011000_2. Agora converto a parte fracionária 0{,}7 por multiplicações sucessivas; vou mostrar os passos e notar a eventual repetição:
Observe que em f_5 a fração voltou a 0{,}4, que já apareceu em f_1. Isso indica que os fs vão entrar em ciclo e os bits vão se repetir periodicamente. Os bits obtidos até aqui são
b_1,b_2,b_3,b_4,b_5,\dots = 1,0,1,1,0,\dots
A partir de f_1=0{,}4 a sequência de quatro estados 0{,}4\to0{,}8\to0{,}6\to0{,}2\to0{,}4 se repete, produzindo o ciclo de bits (0,1,1,0) repetidamente. Assim a expansão binária da parte fracionária é periódica: começa com 1 e depois repete 0110 infinitamente.
Portanto a parte fracionária em binário é
0{,}7_{10}=0{,}1\overline{0110}_2,
onde a barra indica que a sequência 0110 se repete.
Passo 8
Combino a parte inteira e fracionária de 88{,}7:
88{,}7_{10}=1011000{,}1\overline{0110}_2.
Explicação rápida: usei 1011000_2 (Passo 3) para a parte inteira e 0{,}1\overline{0110}_2 (Passo 7) para a fracionária.