Rearranje as equações para a superfície S e o volume V de uma esfera em função de seu raio de modo a obter (a) a superfície da esfera em função do seu volume e (b) o volume da esfera em função de sua superfície.
  1. S=4 \pi r^{2}, V=\frac{4}{3} \pi r^{3}

Passo 1

O enunciado nos dá as fórmulas da área e do volume de uma esfera em função do raio r:
S = 4\pi r^2,\quad V = \frac{4}{3}\pi r^3.
Precisamos isolar r em cada uma e substituir para obter
(a) S em função de V
(b) V em função de S.
O conteúdo usado é manipulação de potências e raízes.

Passo 2

Isole r da expressão de V:
V = \frac{4}{3}\pi r^3 \quad\Longrightarrow\quad r^3 = \frac{3V}{4\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{1/3}.

Passo 3

Substitua r = (3V/(4\pi))^{1/3} em S = 4\pi r^2:
S = 4\pi \Bigl((\tfrac{3V}{4\pi})^{1/3}\Bigr)^2 = 4\pi \Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{2/3}.
Assim obtém-se S em função de V.

Passo 4

Isole r da expressão de S:
S = 4\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = \frac{S}{4\pi} \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{S}{4\pi}}.

Passo 5

Substitua r = \sqrt{S/(4\pi)} em V = \tfrac{4}{3}\pi r^3:
V = \frac{4}{3}\pi \Bigl(\sqrt{\tfrac{S}{4\pi}}\Bigr)^3 = \frac{4}{3}\pi \Bigl(\frac{S}{4\pi}\Bigr)^{3/2}.
Assim obtém-se V em função de S.

Resposta

(a)
S(V) = 4\pi \Bigl(\frac{3V}{4\pi}\Bigr)^{2/3}.
(b)
V(S) = \frac{4}{3}\pi \Bigl(\frac{S}{4\pi}\Bigr)^{3/2}.

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