Quais das seguintes grandezas são independentes da escolha do sistema de referência inercial? (Pode existir mais de uma resposta correta.)
(A) Velocidade
(B) Aceleração
(C) Força
(D) Trabalho

Passo 1

O enunciado pergunta: quais das grandezas listadas são independentes da escolha do sistema de referência inercial? As opções são:
(A) Velocidade
(B) Aceleração
\text{(C)} Força
(D) Trabalho
Informações relevantes que temos (tudo que o enunciado pressupõe e que vou usar):
  • “Sistema de referência inercial” significa frames que se movem entre si com velocidade constante (sem aceleração relativa). Vou usar a transformação de Galileu (translação a velocidade constante) como modelo matemático da troca de sistemas inerciais.
  • Quero verificar se cada grandeza tem o mesmo valor medido nos dois sistemas inerciais (isto é, se é independente da escolha do sistema de referência inercial).

Passo 2

Definir matematicamente a transformação de Galileu e ver como posição e velocidade mudam.
Considere dois sistemas inerciais S e S'. Suponha que S' se move com velocidade constante \mathbf{V} em relação a S. As relações de posição e tempo (transformação de Galileu) são:
\mathbf{r}' = \mathbf{r} - \mathbf{V}t,\qquad t' = t.
Agora derivamos em relação ao tempo para obter velocidade:
\mathbf{v} = \frac{d\mathbf{r}}{dt},\qquad \mathbf{v}' = \frac{d\mathbf{r}'}{dt'} = \frac{d}{dt}(\mathbf{r}-\mathbf{V}t)=\mathbf{v}-\mathbf{V}.
Conclusão imediata para a opção (A): a velocidade muda ao trocar de sistema inercial por uma constante \mathbf{V}. Logo, a velocidade não é independente do sistema de referência inercial — depende do referencial escolhido.
Exemplo numérico rápido e intuitivo: se em S um objeto tem \mathbf{v}=(10,0,0)\\ \mathrm{m/s} e S' se move com \mathbf{V}=(5,0,0)\\ \mathrm{m/s}, então em S' o objeto tem \mathbf{v}'=(5,0,0)\\ \mathrm{m/s}. Mudou. Respira — isso é esperado.

Passo 3

Verificar a aceleração: derivada da velocidade.
Partindo de \mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{V} e lembrando que \mathbf{V} é constante (translação com velocidade constante), derivamos novamente:
\mathbf{a}=\frac{d\mathbf{v}}{dt},\qquad \mathbf{a}'=\frac{d\mathbf{v}'}{dt'}=\frac{d}{dt}(\mathbf{v}-\mathbf{V})=\mathbf{a}.
Portanto \mathbf{a}'=\mathbf{a}. Em palavras: adicionar uma velocidade constante não altera a taxa de variação da velocidade; a aceleração é a mesma em todos os referenciais inerciais relacionados por translação uniforme.
Intuição física: aceleração mede “quanto a velocidade muda por unidade de tempo”. Se dois observadores se movem com velocidade relativa constante, ambos concordam sobre as mudanças de velocidade (acelerações).
Logo (B) Aceleração é independente da escolha do referencial inercial.

Passo 4

Verificar a força usando a Segunda Lei de Newton.
Na mecânica clássica temos a equação:
\mathbf{F} = m\mathbf{a},
onde m é a massa (numa mecânica newtoniana m é a mesma em todos os referenciais inerciais) e \mathbf{a} é a aceleração. Como já vimos \mathbf{a} é a mesma em S e em S', e m é invariante, segue que a resultante (força líquida) também será a mesma:
\mathbf{F}' = m\mathbf{a}' = m\mathbf{a} = \mathbf{F}.
Portanto, sob as hipóteses da mecânica newtoniana e para forças que seguem a lei \mathbf{F}=m\mathbf{a}, a força é independente da escolha do sistema inercial.
Observação importante (para não cair em pegadinhas na prova): algumas forças dependem da velocidade do corpo (ex.: força magnética \mathbf{F}=q\mathbf{v}\times\mathbf{B}, ou forças de arrasto proporcionais à velocidade). Como \mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{V}, essas forças podem assumir valores diferentes em S'. A afirmação “força é independente do sistema inercial” vale de forma geral para forças que são funções das posições (e possivelmente do tempo) mas não explicitamente da velocidade relativa ao referencial. No contexto clássico e típico de provas de mecânica (forças mecânicas, gravitação newtoniana, forças elásticas, normais, etc.), responde-se que a força (resultante) é independente do sistema inercial.

Passo 5

Verificar o trabalho e mostrar por que ele não é invariante.
O trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória é
W=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Num outro referencial S', o diferencial de posição é d\mathbf{r}'=d\mathbf{r}-\mathbf{V}\,dt. Assim o trabalho no referencial S' é
W'=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}'=\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}-\int_{\mathcal{C}}\mathbf{F}\cdot\mathbf{V}\,dt = W - \mathbf{V}\cdot\int_{t_i}^{t_f}\mathbf{F}\,dt.
A integral \int_{t_i}^{t_f}\mathbf{F}\,dt é a variação do impulso \Delta \mathbf{p} (pela Segunda Lei escrita na forma \mathbf{F}=d\mathbf{p}/dt). Portanto
W' = W - \mathbf{V}\cdot\Delta\mathbf{p}.
Em geral \Delta\mathbf{p}\neq \mathbf{0}, logo W'\neq W. Assim o trabalho depende do referencial inercial escolhido.
Exemplo simples: força constante \mathbf{F} aplicada por tempo \Delta t. Então \Delta\mathbf{p}=\mathbf{F}\Delta t e
W' = W - \mathbf{V}\cdot(\mathbf{F}\Delta t).
Interpretando: um observador que se move vê deslocamentos diferentes e, portanto, avalia trabalho diferente. Também isso bate com a energia cinética: a variação de energia cinética depende do referencial, e o trabalho (pela Teorema Trabalho-Energia) acompanha essa mudança.
Conclusão: trabalho não é independente do sistema inercial.

Passo 6

Síntese final (resumo didático e motivador)
  • Velocidade: NÃO é independente do sistema inercial. Mudanças por uma velocidade constante \mathbf{V} aparecem: \mathbf{v}'=\mathbf{v}-\mathbf{V}.
  • Aceleração: SIM é independente do sistema inercial (entre referenciais inerciais relacionados por translação uniforme): \mathbf{a}'=\mathbf{a}.
  • Força: na mecânica newtoniana, para forças que não dependem explicitamente da velocidade, a força resultante é SIM independente (porque \mathbf{F}=m\mathbf{a} e m,\mathbf{a} são invariantes). Atenção à exceção prática: forças que dependem da velocidade (ex.: força magnética, arrasto) podem mudar de valor numericamente entre referenciais. Em exames de mecânica clássica a resposta esperada costuma ser que a força é independente.
  • Trabalho: NÃO é independente; W' = W - \mathbf{V}\cdot\Delta\mathbf{p} em geral, portanto o valor do trabalho depende do referencial inercial escolhido.
Força para você: calma — as respostas são simples quando se lembra da transformações de Galileu e da definição de trabalho. Você já entendeu o raciocínio, agora é só treinar alguns exemplos rápidos.

Resposta

B Aceleração
C Força

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