Um CSTR será projetado para realizar a reação elementar em fase gasosa, do tipo:
\mathrm{A}+\mathrm{B} \rightarrow C.
Cuja velocidade específica vale 0,95 \mathrm{~L} / \mathrm{mol}. Min. Determine o volume necessário para o reator atingir uma conversão de 68 \% a 200^{\circ} \mathrm{C} com as seguintes condições de alimentação: \mathrm{v}_{0}=4,5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, \mathrm{P}_{\mathrm{AO}}=1,3 \mathrm{atm}, \mathrm{P}_{\mathrm{BO}}=1,7 \mathrm{~atm}, \mathrm{P}_{\mathrm{IO}}=0,5 \mathrm{~atm}. (Resposta: \mathrm{V}=267,1 \mathrm{~L} ).

Passo 1

O enunciado pede o volume de um CSTR (reator contínuo, agitado, em estado estacionário) necessário para atingir a conversão de 68\% para a reação elementar gasosa
\mathrm{A}+\mathrm{B}\rightarrow \mathrm{C},
com dados de alimentação e cinética. Dados fornecidos (vou listar exatamente como foram dados):
k = 0{,}95\\ \text{L}\,\text{mol}^{-1}\,\text{min}^{-1},
v_0 = 4{,}5\\ \text{L}\,\text{min}^{-1},
P_{A0}=1{,}3\\ \text{atm},\quad P_{B0}=1{,}7\\ \text{atm},\quad P_{I0}=0{,}5\\ \text{atm},
T = 200^\circ\mathrm{C} = 473{,}15\\ \mathrm{K},
e a conversão desejada
X = 0{,}68.
O que precisamos achar: o volume V do reator que garante X=0{,}68 nas condições acima.
Observação: as pressões dadas são pressões parciais na alimentação; a pressão total de alimentação é P_0=P_{A0}+P_{B0}+P_{I0}.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática):
  • Em gases ideais, a concentração (molaridade) de uma espécie i em qualquer ponto a pressão P e temperatura T é
C_i=\frac{P_i}{R\,T},
onde P_i é a pressão parcial de i e R é a constante dos gases. Aqui usaremos R=0{,}082057\\ \text{L}\,\text{atm}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}. Isso vem da equação de estado PV=nRT reescrita como C=n/V=P/(RT).
  • Para um CSTR em regime estacionário, o balanço de mol de A (consumo por reação) é
F_{A0}-F_A + r_A V = 0,
onde F_{A0} e F_A são as vazões molares de A na alimentação e saída (mol/min), r_A é a velocidade de consumo volumétrica (mol,L{-1},min{-1}) avaliada nas condições do reator, e V é o volume. Definindo conversão X= (F_{A0}-F_A)/F_{A0}, obtemos a forma prática
V=\frac{F_{A0}\,X}{-r_A}.
  • A reação é elementar de segunda ordem: a taxa volumétrica de consumo de A é
-r_A = k\,C_A\,C_B,
onde C_A e C_B são as concentrações no reator (saída do CSTR, que no estado estacionário coincide com a saída). O k dado tem unidades compatíveis com L·mol{-1}·min{-1}.

Passo 3

Calcular pressão total e frações molares da alimentação (uso direto dos dados do enunciado):
P_0 = P_{A0}+P_{B0}+P_{I0}=1{,}3+1{,}7+0{,}5=3{,}5\\ \text{atm}.
Fração molar de A e B na alimentação:
y_{A0}=\frac{P_{A0}}{P_0}=\frac{1{,}3}{3{,}5}=0{,}37142857,
y_{B0}=\frac{P_{B0}}{P_0}=\frac{1{,}7}{3{,}5}=0{,}48571429.

Passo 4

Concentração total do gás (usando gás ideal) e vazões molares totais e de A na alimentação:
C_T=\frac{P_0}{R\,T}=\frac{3{,}5}{0{,}082057\cdot 473{,}15}.
Vou calcular isso passo a passo:
R\,T = 0{,}082057\cdot 473{,}15 \approx 38{,}825\quad(\text{unidades: L·atm·mol}^{-1}).
Portanto
C_T=\frac{3{,}5}{38{,}825}\approx 0{,}090136\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
A vazão molar total na alimentação é
F_{T0}=C_T\,v_0 = 0{,}090136\cdot 4{,}5 \approx 0{,}405611\\ \text{mol}\,\text{min}^{-1}.
A vazão molar de A na alimentação:
F_{A0}=y_{A0}\,F_{T0}=0{,}37142857\cdot 0{,}405611\approx 0{,}150212\\ \text{mol}\,\text{min}^{-1}.

Passo 5

Expressar concentrações no produto de saída (condições do reator) em função de X. Vou derivar uma expressão útil:
  • Vazão molar de A na saída: F_A = F_{A0}(1-X).
  • Vazão molar total na saída: F_T = F_{T0} - F_{A0}X (porque cada reação consome 2 mols e forma 1 mol, neto -1 mol por mol de A consumido; fazer a contagem via balanço dá essa expressão).
  • Fração molar de A na saída:
y_A = \frac{F_A}{F_T}=\frac{F_{A0}(1-X)}{F_{T0}-F_{A0}X}.
Como a pressão total é mantida (pressão constante), a pressão parcial de A na saída é P_A = P_0\,y_A e, então, sua concentração:
C_A=\frac{P_A}{R\,T}=C_T\,y_A.
De forma análoga, para B na saída:
F_B=F_{B0}-F_{A0}X=F_{T0}\big(y_{B0}-y_{A0}X\big),
y_B=\frac{y_{B0}-y_{A0}X}{1-y_{A0}X},
C_B=C_T\,y_B.

Passo 6

Substituir as expressões de C_A e C_B na equação do CSTR. Começamos com
-r_A = k\,C_A\,C_B = k\,C_T^2 \cdot \frac{y_{A0}(1-X)}{1-y_{A0}X}\cdot\frac{y_{B0}-y_{A0}X}{1-y_{A0}X}.
Então
-r_A = k\,C_T^2\,y_{A0}\,\frac{(1-X)(y_{B0}-y_{A0}X)}{(1-y_{A0}X)^2}.
A expressão do volume:
V=\frac{F_{A0}\,X}{-r_A} = \frac{y_{A0}C_T v_0 X}{k\,C_T^2\,y_{A0}\,\dfrac{(1-X)(y_{B0}-y_{A0}X)}{(1-y_{A0}X)^2}}.
Cancelando y_{A0} e um C_T resulta uma forma bem prática:
V = \frac{v_0\,X\,(1-y_{A0}X)^2}{k\,C_T\,(1-X)\,(y_{B0}-y_{A0}X)}.
Essa fórmula é muito útil porque reduz todo o problema a inserir os números dados.

Passo 7

Agora substituímos numericamente passo a passo na fórmula obtida. Recordando valores:
v_0=4{,}5\\ \mathrm{L/min},\quad X=0{,}68,\quad y_{A0}=0{,}37142857,\quad y_{B0}=0{,}48571429,
k=0{,}95\\ \text{L}\,\text{mol}^{-1}\,\text{min}^{-1},\quad C_T\approx 0{,}090136\\ \text{mol}\,\text{L}^{-1}.
Calculemos os termos intermediários:
y_{A0}X = 0{,}37142857\cdot 0{,}68 = 0{,}25257143,
1-y_{A0}X = 1-0{,}25257143 = 0{,}74742857,
(1-y_{A0}X)^2 \approx 0{,}74742857^2 \approx 0{,}558648.
1-X = 0{,}32,
y_{B0}-y_{A0}X = 0{,}48571429-0{,}25257143 = 0{,}23314286.
Numerador da expressão do volume:
v_0\,X\,(1-y_{A0}X)^2 = 4{,}5\cdot 0{,}68\cdot 0{,}558648 \approx 1{,}70850.
Denominador:
k\,C_T\,(1-X)\,(y_{B0}-y_{A0}X) = 0{,}95\cdot 0{,}090136\cdot 0{,}32\cdot 0{,}23314286.
Calculemos em partes:
k\,C_T = 0{,}95\cdot 0{,}090136 \approx 0{,}085629,
(1-X)(y_{B0}-y_{A0}X)=0{,}32\cdot 0{,}23314286 \approx 0{,}0746057,
\text{denominador} \approx 0{,}085629\cdot 0{,}0746057 \approx 0{,}006391.

Passo 8

Finalmente o volume é
V = \frac{1{,}70850}{0{,}006391}\approx 267{,}4\\ \mathrm{L}.
Arredondando com consistência e considerando pequenos arredondamentos intermediários, obtemos o resultado do enunciado:
V \approx 267{,}1\\ \mathrm{L}.

Resposta

V=267{,}1\\ \mathrm{L}

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