1. Um recipiente contém uma mistura inicial de 100 g de água e 100 g de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C}. Um dispositivo anexo contem 50,0 \mathrm{~g} de vapor de água a 100^{\circ} \mathrm{C}, pronto para ser inserido no recipiente.
    (i) Quantas calorias podem ser fornecidas ao condensar todo o vapor do dispositivo?
    (ii) Qual é a temperatura de equilíbrio ao inserir o vapor no recipiente?
    Dados: Calor de fusão do gelo L_{f}=80 \mathrm{cal} / \mathrm{g}; calor de vaporização da água L_{v}=540 \mathrm{cal} / \mathrm{g}.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema térmico com:
– recipiente contendo 100\:\mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} e 100\:\mathrm{g} de água a 0^\circ\mathrm{C}.
– dispositivo com 50{,}0\:\mathrm{g} de vapor de água a 100^\circ\mathrm{C}.
Precisamos usar o calor de fusão do gelo L_{f}=80\:\mathrm{cal/g} e o calor de vaporização da água L_{v}=540\:\mathrm{cal/g}, além da capacidade térmica da água c = 1\:\mathrm{cal/g\,^\circ C}, para:
(i) calcular a energia liberada pela condensação de todo o vapor;
(ii) encontrar a temperatura de equilíbrio ao inserir esse vapor no recipiente.

Passo 2

Para (i), ao condensar 50{,}0\:\mathrm{g} de vapor a 100^\circ\mathrm{C} em água líquida a 100^\circ\mathrm{C}, libera-se apenas o calor de vaporização. Logo,
Q_{(i)} = m\,L_{v} = 50{,}0 \times 540 = 27000\:\mathrm{cal}.

Passo 3

Para (ii), além de Q_{(i)}, a água condensada a 100^\circ\mathrm{C} pode se resfriar até a temperatura de equilíbrio T, liberando
Q_{\text{res}} = m\,c\,(100 - T) = 50 \times 1 \times (100 - T) = 5000 - 50\,T\:\mathrm{cal}.
Portanto, a energia total liberada pelo vapor é
Q_{\text{tot}} = 27000 + (5000 - 50\,T) = 32000 - 50\,T\:\mathrm{cal}.

Passo 4

Essa energia será absorvida pelo gelo e pela água inicial, primeiro derretendo parte ou todo o gelo a 0^\circ\mathrm{C}. Para derreter 100\:\mathrm{g} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} são necessárias
Q_{\text{fusão}} = 100 \times 80 = 8000\:\mathrm{cal}.ã
Se T=0^\circ\mathrm{C}, Q_{\text{tot}}(T=0)=32000\:\mathrm{cal}, muito maior que 8000\:\mathrm{cal}. Logo, todo o gelo derrete e sobra energia para aquecer a água resultante acima de 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Após fusão, temos 100 + 100 = 200\:\mathrm{g} de água a 0^\circ\mathrm{C}. Para aquecê-la até T é preciso
Q_{\text{abs}} = 200 \times 1 \times (T - 0) = 200\,T\:\mathrm{cal}.
No equilíbrio, Q_{\text{tot}} = Q_{\text{abs}}, isto é,
32000 - 50\,T = 200\,T \quad\Longrightarrow\quad 32000 = 250\,T \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{32000}{250} = 128.
Repare que houve um equívoco: 32000 - 50\,T = 200\,T leva a
32000 = 250\,T \quad\Longrightarrow\quad T = 128^\circ\mathrm{C},
mas isso excede 100^\circ\mathrm{C}, o que não é possível (toda energia além de levaria nova vaporização). Isso significa que em T=100^\circ\mathrm{C} já não resta energia para vaporizar mais massa, ou seja, chegamos a 100\circC antes de terminar de resfriar toda a condensação. Devemos então verificar se atingimos os 100^\circ\mathrm{C} sem vaporizar:
(a) Energia para levar a água condensada de 100\to 100\circC é zero;
(b) Energia total liberada até T=100^\circ\mathrm{C} é
Q_{\text{tot}}(100) = 32000 - 50\times100 = 32000 - 5000 = 27000\:\mathrm{cal}.
(c) Destes, 8000 fundem todo o gelo, sobrando 19000\:\mathrm{cal} para aquecer 200\:\mathrm{g} de água de 0\to 100\circC, que precisariam de 200\times100=20000\:\mathrm{cal}. Como 19000<20000, não chegamos a 100^\circ\mathrm{C}. Portanto, a hipótese anterior de T>100^\circ\mathrm{C} é impossível, e o cálculo original estava correto mas trocado o sinal. Vamos refazer a equação de equilíbrio de modo consistente:
Solucionar
32000 - 50\,T = 8000 + 200\,T
– considere a água condensada já resfriada até T na forma de Q_{\text{tot}}. Então
32000 - 50\,T = 8000 + 200\,T \;\Longrightarrow\; 24000 = 250\,T \;\Longrightarrow\; T = 96^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(i) 27000\:\mathrm{cal}
(ii) 96^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados