Um recipiente termicamente isolado é dividido por uma partiçāo em dois compartimentos. O compartimento da direita tem um volume b vezes maior do que o da esquerda. O compartimento esquerdo contém \nu mols de um gás ideal à temperatura T e pressāo \bar{p}. O compartimento direito também contém \nu mols de um gás ideal à temperatura T. A partiçāo é entāo removida. Calcule:
(a) a pressāo final da mistura de gases em termos de \bar{p};
(b) a variaçāo total de entropia se os gases forem diferentes;
(c) a variaçāo total de entropia se os gases forem idênticos.

Passo 1

O enunciado descreve um recipiente isolado termicamente, dividido em dois compartimentos por uma partição. O volume do compartimento direito é b vezes o volume do esquerdo. No esquerdo há \nu mols de um gás ideal à temperatura T e pressão \bar p; no direito há também \nu mols do (mesmo ou de outro) gás ideal à mesma temperatura T. Ao remover a partição, os gases se misturam e se expandem sem troca de calor com o meio.
Conteúdo aplicado: equação de estado do gás ideal, energia interna de gás ideal dependendo só de T (logo T final = T inicial), balanço de massa e volume para a pressão final, e fórmulas de variação de entropia isoterma e de mistura (Gibbs).

Passo 2

Primeiro encontramos o volume inicial do compartimento esquerdo e a pressão no direito. Da equação de estado
\bar p\,V_L = \nu R T
temos
V_L = \frac{\nu R T}{\bar p}.
O volume do lado direito é V_R = b\,V_L, e sua pressão inicial é
p_R = \frac{\nu R T}{V_R} = \frac{\nu R T}{b\,V_L} = \frac{\bar p}{b}.
Após remover a partição, o volume total fica
V_{\rm tot} = V_L + V_R = (1+b)\,V_L
e o número total de mols é 2\nu. Como T não muda, a pressão final é
p_f = \frac{(2\nu)\,R\,T}{V_{\rm tot}} = \frac{2\nu R T}{(1+b)\,V_L} = \frac{2}{1+b}\,\bar p.

Passo 3

Para gases diferentes há entropia de expansão isoterma de cada um mais entropia de mistura. Podemos usar diretamente a fórmula de mistura de dois gases ideais distintos:
\Delta S_{\rm mistura} =-R\bigl(\nu\ln x_1 + \nu\ln x_2\bigr)
onde x_1 e x_2 são frações molares no estado final. Aqui
x_1 = \frac{\nu}{2\nu}=\tfrac12,\quad x_2 = \tfrac12,
porém os volumes iniciais eram diferentes, então o resultado é equivalente a somar as expansões isotermais:
Expansão do gás 1 de V_L para V_{\rm tot}:
\Delta S_1 = \nu R\ln\frac{V_{\rm tot}}{V_L} = \nu R\ln(1+b).
Expansão do gás 2 de V_R=bV_L para V_{\rm tot}:
\Delta S_2 = \nu R\ln\frac{V_{\rm tot}}{V_R} = \nu R\ln\frac{1+b}{b}.
Logo, a variação total é
\Delta S_{\rm total} = \Delta S_1 + \Delta S_2 = \nu R\Bigl[\ln(1+b)+\ln\frac{1+b}{b}\Bigr] = \nu R\ln\frac{(1+b)^2}{b}.

Passo 4

Se os gases forem idênticos, não há entropia de mistura (Gibbs) e, como não há expansão contra vácuo — o gás total já ocupava V_{\rm tot} antes da remoção — não há variação de entropia líquida. Portanto
\Delta S_{\rm total} = 0.

Resposta

(a) \displaystyle p_f = \frac{2}{1+b}\,\bar p.
(b) \displaystyle \Delta S = \nu R \ln\frac{(1+b)^2}{b}.
(c) \displaystyle \Delta S = 0.

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