Sabendo que o det \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1\end{array}\right]=12, calcule os seguintes determinantes:
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 8 \\\\ 2 & 6 & 18 \\\\ 2 & -2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\\\ 1 & 3 & 9 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}
com \det(A)=12, e pede o determinante da matriz
B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 8 \\\\ 2 & 6 & 18 \\\\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é a propriedade de determinantes relativa à multiplicação de linhas por escalar.

Passo 2

A propriedade diz que, se numa matriz de ordem n multiplicamos uma linha por um escalar k, o determinante é multiplicado por k. Se multiplicamos todas as n linhas por k, o fator resultante no determinante é k^n.

Passo 3

Comparando A e B, vemos que cada uma das três linhas de A foi multiplicada por 2 para obter B. Logo o fator total é
2^3 = 8
e, portanto,
\det(B) = 8 \,\det(A) = 8 \times 12 = 96.

Resposta

96

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