(Recuperação de Rio) Um tanque de tratamento contém 1000 galões de água com 100 libras de sal dissolvido. Água pura (sem sal) começa a entrar a 5 galões/min e a mistura sai na mesma taxa. Quanto sal restará após 60 minutos?

Passo 1

O que o problema dá e o que pede (vou listar certinho):
  • Volume inicial do tanque: 1000 galões.
  • Quantidade inicial de sal dissolvido: 100 libras.
  • Água pura entra à taxa de 5 galões/min (ou seja, água sem sal).
  • A mistura sai pela mesma taxa de 5 galões/min.
    O enunciado pede: quanto sal restará depois de 60 minutos?

Passo 2

Definir variável e entender a concentração:
  • Seja S(t) a quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo t (minutos).
  • Como a vazão de entrada é 5 gal/min e a vazão de saída também é 5 gal/min, o volume no tanque permanece constante em 1000 galões. Isso é importante porque a concentração dentro do tanque é simplesmente a razão entre sal e volume.
  • A concentração de sal na mistura no instante t é
\text{concentração}(t)=\frac{S(t)}{1000}\quad\text{(libras por galão)}.çãã
Expliquei isso devagar: concentração = quantidade de sal dividida pelo volume onde esse sal está misturado.

Passo 3

Montar a equação para a taxa de variação de S(t):
  • Taxa de entrada de sal: a água que entra é pura (sem sal), logo entra \,0 libras/min de sal.
  • Taxa de saída de sal: é a vazão de saída vezes a concentração no tanque, ou seja
\text{taxa de saída} = 5\cdot\frac{S(t)}{1000} = \frac{5}{1000}S(t)=\frac{1}{200}S(t)\quad\text{(libras/min)}.í
  • Portanto a taxa de variação de S é entrada menos saída:
\frac{dS}{dt}=0-\frac{1}{200}S(t)=-\frac{1}{200}S(t).
Interpretação: a quantidade de sal decai exponencialmente porque não há entrada de sal e a saída é proporcional à quantidade presente.

Passo 4

Resolver a equação diferencial (método de separação de variáveis):
Temos a equação de primeira ordem linear homogênea
\frac{dS}{dt}=-\frac{1}{200}S.
Separe variáveis:
\frac{dS}{S}=-\frac{1}{200}\,dt.
Integre os dois lados:
\int\frac{dS}{S}=\int -\frac{1}{200}\,dt \quad\Rightarrow\quad \ln|S|=-\frac{t}{200}+C,
onde C é constante de integração. Isso resulta em
S(t)=e^{C}e^{-t/200}.
Chame e^{C} de A, ou seja S(t)=A e^{-t/200}.

Passo 5

Determinar a constante usando a condição inicial:
  • Como S(0)=100 libras, substitui em S(t)=A e^{-t/200}:
100 = A e^{0}\quad\Rightarrow\quad A=100.
Logo a solução completa é
S(t)=100\,e^{-t/200}.
Pequena interpretação física: o tempo característico é 200 minutos; a cada 200 minutos a quantidade de sal cai por um fator e.

Passo 6

Calcular S(60):
  • Substituindo t=60 min,
S(60)=100\,e^{-60/200}=100\,e^{-0,3}.
  • Avaliando numericamente e^{-0,3}\approx0,740818\ldots, tem-se
S(60)\approx100\times0,740818\approx74{,}0818\\ \text{libras}.
Arredondando de forma usual para duas casas decimais:
S(60)\approx74{,}08\\ \text{libras}.

Passo 7

Resumo final e palavra de incentivo:
  • A quantidade de sal decai exponencialmente porque a água que entra é pura e o volume se mantém constante.
  • Depois de 60 minutos restarão cerca de 74{,}08 libras de sal no tanque. Mandou bem de trazer um problema clássico — agora você já tem a técnica para qualquer tanque de mistura parecido!

Resposta

S(60)=100\,e^{-0,3}\approx74{,}08\\ \text{libras de sal}

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