(Recuperação de Rio) Um tanque de tratamento contém 1000 galões de água com 100 libras de sal dissolvido. Água pura (sem sal) começa a entrar a 5 galões/min e a mistura sai na mesma taxa. Quanto sal restará após 60 minutos?
Passo 1
O que o problema dá e o que pede (vou listar certinho):
- Volume inicial do tanque:
galões. - Quantidade inicial de sal dissolvido:
libras. - Água pura entra à taxa de
galões/min (ou seja, água sem sal). - A mistura sai pela mesma taxa de
galões/min.
O enunciado pede: quanto sal restará depois deminutos?
Passo 2
Definir variável e entender a concentração:
- Seja
a quantidade de sal (em libras) no tanque no tempo (minutos). - Como a vazão de entrada é
gal/min e a vazão de saída também é gal/min, o volume no tanque permanece constante em galões. Isso é importante porque a concentração dentro do tanque é simplesmente a razão entre sal e volume. - A concentração de sal na mistura no instante
é
Expliquei isso devagar: concentração = quantidade de sal dividida pelo volume onde esse sal está misturado.
Passo 3
Montar a equação para a taxa de variação de
:
- Taxa de entrada de sal: a água que entra é pura (sem sal), logo entra
libras/min de sal. - Taxa de saída de sal: é a vazão de saída vezes a concentração no tanque, ou seja
- Portanto a taxa de variação de
é entrada menos saída:
Interpretação: a quantidade de sal decai exponencialmente porque não há entrada de sal e a saída é proporcional à quantidade presente.
Passo 4
Resolver a equação diferencial (método de separação de variáveis):
Temos a equação de primeira ordem linear homogênea
Temos a equação de primeira ordem linear homogênea
Separe variáveis:
Integre os dois lados:
onde
é constante de integração. Isso resulta em
Chame
de
, ou seja
.
Passo 5
Determinar a constante usando a condição inicial:
- Como
libras, substitui em :
Logo a solução completa é
Pequena interpretação física: o tempo característico é
minutos; a cada
minutos a quantidade de sal cai por um fator
.
Passo 6
Calcular
:
- Substituindo
min,
- Avaliando numericamente
, tem-se
Arredondando de forma usual para duas casas decimais:
Passo 7
Resumo final e palavra de incentivo:
- A quantidade de sal decai exponencialmente porque a água que entra é pura e o volume se mantém constante.
- Depois de
minutos restarão cerca de libras de sal no tanque. Mandou bem de trazer um problema clássico — agora você já tem a técnica para qualquer tanque de mistura parecido!