Um script escolhe aleatoriamente uma das 6 partições de um banco de dados para armazenar registros, com a mesma probabilidade.
a. Determine a distribuição de probabilidade correspondente
b. Encontre a média e variância dessa distribuição.

Passo 1

O enunciado nos diz que um script escolhe uma das 6 partições de um banco de dados com igual probabilidade. O conteúdo é distribuição discreta uniforme com n=6. Vamos encontrar a função de probabilidade, a média e a variância dessa distribuição.

Passo 2

A variável aleatória X representa o índice da partição escolhida, portanto X\in\{1,2,3,4,5,6\}. Como todas têm probabilidade igual, a distribuição de probabilidade é
p(X=k)=\frac{1}{6},\quad k=1,2,3,4,5,6.

Passo 3

Para calcular a média \mu=E(X), usamos a definição
\mu = \sum_{k=1}^{6} k\;p(X=k) = \sum_{k=1}^{6} k\cdot\frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3,5.

Passo 4

Para a variância, primeiro calculamos E(X^2):
E(X^2) = \sum_{k=1}^{6} k^2\;p(X=k) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}.
Em seguida,
\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{91}{6} - (3,5)^2 = \frac{91}{6} - 12,25 = \frac{91 - 73,5}{6} = \frac{17,5}{6} = \frac{35}{12} \approx 2,9167.

Resposta

A distribuição é
p(X=k)=\frac{1}{6},\quad k=1,2,3,4,5,6.
A média é \mu=3,5 e a variância é \sigma^2=\tfrac{35}{12}\approx2,9167.

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