Redução de Ângulo ao Primeiro Quadrante - Identidades
Simplifique \operatorname{sen}(3 \pi-\alpha) e determine seu valor numérico para \alpha=40^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar \sin(3\pi-\alpha) usando identidades de redução de ângulo ao primeiro quadrante e depois calcular numericamente esse resultado quando \alpha=40^\circ. Vamos usar as propriedades de periodicidade do seno e a identidade para ângulos suplementares.

Passo 2

Note que
3\pi - \alpha = 2\pi + (\pi - \alpha).
Como a função seno é periódica de período 2\pi, temos
\sin\bigl(3\pi - \alpha\bigr) = \sin\bigl(2\pi + (\pi - \alpha)\bigr) = \sin\bigl(\pi - \alpha\bigr).

Passo 3

Agora aplicamos a identidade do seno de ângulo suplementar:
\sin\bigl(\pi - \alpha\bigr) = \sin(\alpha).
Logo a forma simplificada é
\sin(3\pi-\alpha) = \sin(\alpha).

Passo 4

Finalmente, para \alpha=40^\circ, fica
\sin(3\pi-40^\circ) = \sin(40^\circ).
Usando uma calculadora ou tabela,
\sin(40^\circ)\approx0,6428.

Resposta

\sin(3\pi-\alpha)=\sin(\alpha) e, para \alpha=40^\circ, vale aproximadamente 0,6428.

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