Trigonometria do Triângulo Retângulo - Aplicações Avançadas
Prove que \tan (\alpha)=\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos (\alpha)} a partir da definição geométrica no triângulo retângulo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\tan(\alpha) = \frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}
usando a definição geométrica em um triângulo retângulo. Vamos precisar das definições de seno, cosseno e tangente em termos dos comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 2

Considere um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e o ângulo agudo \alpha em A. Denotemos:
\text{hipotenusa} = AC = h,\quad \text{cateto oposto a \(\alpha\)} = BC = a,\quad \text{cateto adjacente a \(\alpha\)} = AB = b.
Pela definição geométrica, temos
\operatorname{sen}(\alpha) = \frac{a}{h}, \qquad \cos(\alpha) = \frac{b}{h}.

Passo 3

Ainda pela definição geométrica, a tangente do ângulo \alpha é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente:
\tan(\alpha) = \frac{a}{b}.

Passo 4

Agora rewrite \frac{a}{b} como uma divisão de duas frações com o mesmo denominador h:
\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{\tfrac{a}{h}}{\tfrac{b}{h}} = \frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)},
pois \tfrac{a}{h}=\operatorname{sen}(\alpha) e \tfrac{b}{h}=\cos(\alpha). Dessa forma chegamos à identidade desejada.

Resposta

\tan(\alpha) = \frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}.

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