Reduza as equações à equações homogêneas ou variáveis separáveis e resolva-as:
\frac{d y}{d x}=\frac{1-3 x-3 y}{1+x+y};

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 3x - 3y}{1 + x + y}.
Percebemos que o numerador e o denominador dependem de x+y. Vamos usar a substituição
z = x + y,
de modo a transformar a equação em uma forma separável.

Passo 2

Derivando z em relação a x temos
\frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}(x+y) = 1 + \frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx} da equação original e lembrando que x+y=z, obtemos
\frac{dz}{dx} = 1 + \frac{1 - 3z}{1 + z} = \frac{1 + z + 1 - 3z}{1 + z} = \frac{2(1 - z)}{1 + z}.

Passo 3

Agora a equação está na forma separável
\frac{dz}{dx} = \frac{2(1 - z)}{1 + z}.
Separamos as variáveis:
\frac{1 + z}{1 - z}\,dz = 2\,dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1 + z}{1 - z}\,dz = \int 2\,dx.
Note que
\frac{1 + z}{1 - z} = -1 + \frac{2}{1 - z},
então
\int \Bigl(-1 + \frac{2}{1 - z}\Bigr)\,dz = -z - 2\ln\lvert1 - z\rvert = 2x + C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante,
z + 2\ln\lvert1 - z\rvert = -2x + C_1.

Passo 5

Voltando à variável original y, lembre que z=x+y. Então
x + y + 2\ln\bigl\lvert1 - x - y\bigr\rvert = -2x + C_1 \;\Longrightarrow\; 3x + y + 2\ln\bigl\lvert1 - x - y\bigr\rvert = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

3x + y + 2\ln\bigl\lvert1 - x - y\bigr\rvert = C.

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