Reduza as equações à equações homogêneas ou variáveis separáveis e resolva-as:
(2 x+3 y-1) d x+(2 x+3 y+2) d y=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(2x+3y-1)\,dx + (2x+3y+2)\,dy = 0,
que não é exata, mas podemos reduzi-la a uma equação de variáveis separáveis. Vamos escrever em forma de dy/dx e introduzir a mudança de variável
v = 2x + 3y.

Passo 2

Passando para a forma dy/dx, dividimos toda a equação por dx:
(2x + 3y - 1) + (2x + 3y + 2)\,\frac{dy}{dx} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\,\frac{2x + 3y - 1}{2x + 3y + 2}.

Passo 3

Definimos v = 2x + 3y. Então
\frac{dv}{dx} = 2 + 3\,\frac{dy}{dx}.
Substituindo \frac{dy}{dx} obtido no passo anterior, vem
\frac{dv}{dx} = 2 + 3\Bigl(-\,\frac{v - 1}{v + 2}\Bigr) = \frac{2(v+2) -3(v-1)}{v+2} = \frac{-v+7}{v+2} = \frac{7-v}{v+2}.

Passo 4

Agora temos uma equação separável em v e x:
\frac{dv}{dx} = \frac{7-v}{v+2} \;\Longrightarrow\; dx = \frac{v+2}{7-v}\,dv.
Integramos ambos os lados:
\int dx = \int \frac{v+2}{7-v}\,dv.
Fazendo a divisão algébrica
\frac{v+2}{7-v} = -\frac{v+2}{v-7} = -\Bigl(1 + \frac{9}{v-7}\Bigr) = -1 - \frac{9}{v-7},
segue
x = \int\!\Bigl(-1 - \frac{9}{v-7}\Bigr)\,dv = -v -9\ln\bigl|v-7\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original v = 2x + 3y, obtemos a solução implícita
x = -(2x+3y) - 9\ln\bigl|2x+3y - 7\bigr| + C \;\Longrightarrow\; 3x + 3y + 9\ln\bigl|2x+3y - 7\bigr| = C',
onde C' é constante arbitrária. Dividindo tudo por 3, fica
x + y + 3\ln\bigl|2x+3y - 7\bigr| = C.

Resposta

x + y + 3\ln\bigl|2x+3y - 7\bigr| = C.

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