Reduza as equações à equações homogêneas ou variáveis separáveis e resolva-as:
\frac{d y}{d x}=\frac{x+2 y+1}{2 x+4 y+3};

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} \;=\;\frac{x \;+\;2y \;+\;1}{2x \;+\;4y \;+\;3}
O objetivo é transformá-la numa equação com variáveis separáveis ou homogênea, resolvê-la e obter a solução geral.

Passo 2

Note que tanto numerador quanto denominador dependem de x+2y mais uma constante. Definimos a nova variável
u = x + 2y.
Então
\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x+2y) = 1 + 2\frac{dy}{dx}.
Isolando \tfrac{dy}{dx} fica
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{du}{dx} - 1\Bigr).

Passo 3

Substituímos \tfrac{dy}{dx} e u na equação original:
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{du}{dx}-1\Bigr) = \frac{u + 1}{2u + 3}.
Multiplicando por 2 em ambos os lados obtemos
\frac{du}{dx} - 1 = \frac{2(u+1)}{2u+3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dx} = 1 + \frac{2(u+1)}{2u+3} = \frac{2u+3 + 2u +2}{2u+3} = \frac{4u+5}{2u+3}.

Passo 4

Agora a equação em u e x está separável:
\frac{du}{dx} = \frac{4u+5}{2u+3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2u+3}{4u+5}\,du = dx.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int \frac{2u+3}{4u+5}\,du.
Fazemos divisão de polinômios: escrevemos
\frac{2u+3}{4u+5} = \frac12 + \frac{\tfrac12}{4u+5}.
Logo
\int \frac{2u+3}{4u+5}\,du = \int \Bigl(\tfrac12 + \frac{1}{2(4u+5)}\Bigr)du = \frac12 u + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\ln\bigl|4u+5\bigr| + C = \frac{u}{2} + \frac{1}{8}\ln\bigl|4u+5\bigr| + C.

Passo 6

A igualdade da integral com o lado direito dá
\frac{u}{2} + \frac{1}{8}\ln\bigl|4u+5\bigr| = x + C.
Multiplicamos por 8 para simplificar:
4u + \ln\bigl|4u+5\bigr| = 8x + C_1.

Passo 7

Voltando à variável original u = x+2y, substituímos:
4(x+2y) + \ln\bigl|4(x+2y)+5\bigr| = 8x + C_1.
Isto é equivalente a
8y + \ln\bigl|4x+8y+5\bigr| = 4x + C_1.

Resposta

A solução implícita geral é
8y - 4x + \ln\bigl|4x+8y+5\bigr| = C,
onde C é constante arbitrária.

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