Resolva as equações homogêneas:
\left(x^{2}+2 y^{2}\right) d x-x y d y=0, y(-1)=1.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
(x^{2}+2y^{2})\,dx \;-\; x\,y\,dy = 0
com condição inicial y(-1)=1.
Reconhecemos que é uma EDO homogênea de grau 2 em x e y. Vamos usar a substituição padrão
y = v\,x,
de modo a reduzir a equação a uma de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma de derivada, temos
(x^{2}+2y^{2})\,dx = x\,y\,dy \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}+2y^{2}}{x\,y} = \frac{x}{y} \;+\; \frac{2\,y}{x}.
Como o lado direito é função de y/x, confirmamos a homogeneidade e estamos prontos para a troca y=vx.

Passo 3

Com y=vx segue
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Por outro lado,
\frac{x}{y} + \frac{2y}{x} = \frac{x}{v\,x} + \frac{2\,v\,x}{x} = \frac{1}{v} + 2v.
Igualando as duas expressões de \tfrac{dy}{dx} obtém-se
v + x\frac{dv}{dx} \;=\; \frac{1}{v} + 2v \;\;\Longrightarrow\;\; x\frac{dv}{dx} = \frac{1}{v} + 2v - v = \frac{1}{v} + v.

Passo 4

Separamos as variáveis v e x:
x\frac{dv}{dx} = \frac{1+v^{2}}{v} \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{1+v^{2}}\,dv = \frac{dx}{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
\int \frac{v}{1+v^{2}}\,dv = \int \frac{dx}{x} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{1}{2}\ln\bigl(1+v^{2}\bigr) = \ln\lvert x\rvert + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando,
\ln\bigl(1+v^{2}\bigr) = 2\ln\lvert x\rvert + C' \;\;\Longrightarrow\;\; 1+v^{2} = K\,x^{2},
onde K=e^{C'}.

Passo 6

Voltando a y pela relação v=y/x,
1 + \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} = K\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = K\,x^{2} \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = K\,x^{4}.
Esta é a solução implícita geral.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(-1)=1:
(-1)^{2} + 1^{2} = K\,(-1)^{4} \;\;\Longrightarrow\;\; 1 + 1 = K\cdot1 \;\;\Longrightarrow\;\; K = 2.
Logo a solução particular é
x^{2} + y^{2} = 2\,x^{4}.

Passo 8

Para obter y isolado, escrevemos
y^{2} = 2\,x^{4} - x^{2} = x^{2}\,(2x^{2}-1).
Como y(-1)=1>0 e \lvert -1\rvert=1, escolhemos o ramo positivo de \sqrt{x^{2}(2x^{2}-1)}. Para x<0 isso equivale a
y = -\,x\;\sqrt{2x^{2}-1}.

Resposta

A solução que satisfaz y(-1)=1 é
\boxed{y(x) = -\,x\;\sqrt{2x^{2}-1},\quad \lvert x\rvert\ge\frac{1}{\sqrt2}.}

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