Resolva as equações homogêneas:
.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial
com condição inicial
.
Reconhecemos que é uma EDO homogênea de grau 2 em e
. Vamos usar a substituição padrão
Reconhecemos que é uma EDO homogênea de grau 2 em
de modo a reduzir a equação a uma de variáveis separáveis.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma de derivada, temos
Como o lado direito é função de
, confirmamos a homogeneidade e estamos prontos para a troca
.
Passo 3
Com
segue
Por outro lado,
Igualando as duas expressões de
obtém-se
Passo 4
Separamos as variáveis
e
:
Passo 5
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 e exponenciando,
onde
.
Passo 6
Voltando a
pela relação
,
Esta é a solução implícita geral.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
:
Logo a solução particular é
Passo 8
Para obter
isolado, escrevemos
Como
e
, escolhemos o ramo positivo de
. Para
isso equivale a
Resposta
A solução que satisfaz
é