Resolva as equações homogêneas:
;
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo que vamos usar é reconhecimento de equação exata e fator integrante que dependa só de .
O conteúdo que vamos usar é reconhecimento de equação exata e fator integrante que dependa só de
Passo 2
Identificamos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos fator integrante
. Usamos a fómula
que depende só de
. Logo
Multiplicamos a equação original por
.
Passo 4
Após multiplicar,
e agora
, sendo a equação exata.
Buscamos tal que
Buscamos
Integramos em
:
onde usamos a substituição
em
.
Passo 5
Impondo
, temos
logo
e
. A solução implícita é
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
:
então
. Assim
Passo 7
Isolando
:
portanto, no intervalo onde
, a solução explícita é
Resposta
A solução que satisfaz
é