Resolva as equações homogêneas:
\left(x+y e^{y / x}\right) d x-x e^{y / x} d y=0, y(1)=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\bigl(x + y e^{y/x}\bigr)\,dx \;-\; x e^{y/x}\,dy = 0,
com condição inicial y(1)=0.
O conteúdo que vamos usar é reconhecimento de equação exata e fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=x + y e^{y/x}, \quad N(x,y)=-x e^{y/x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =e^{y/x}\Bigl(1+\frac{y}{x}\Bigr), \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =e^{y/x}\Bigl(\frac{y}{x}-1\Bigr).
Como \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos fator integrante \mu(x). Usamos a fómula
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =-\frac{2}{x},
que depende só de x. Logo
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int-\frac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln|x|) =x^{-2}.
Multiplicamos a equação original por x^{-2}.

Passo 4

Após multiplicar,
M^*=\frac{1}{x}+\frac{y e^{y/x}}{x^2}, \qquad N^*=-\frac{e^{y/x}}{x},
e agora \partial M^*/\partial y=\partial N^*/\partial x, sendo a equação exata.
Buscamos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =M^* =\frac{1}{x}+\frac{y e^{y/x}}{x^2}.
Integramos em x:
\psi(x,y) =\int\frac{1}{x}\,dx +\int\frac{y e^{y/x}}{x^2}\,dx =\ln|x| -\;e^{y/x} +h(y),
onde usamos a substituição t=y/x em \int y e^{y/x}/x^2\,dx.

Passo 5

Impondo \partial \psi/\partial y=N^*, temos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =-\frac{e^{y/x}}{x}+h'(y) \stackrel!= -\frac{e^{y/x}}{x},
logo h'(y)=0 e h(y)=\text{const}. A solução implícita é
\ln|x| - e^{y/x} = C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
\ln(1)-e^{0/1}=0-1=-1,
então C=-1. Assim
\ln|x| - e^{y/x} = -1.

Passo 7

Isolando y:
e^{y/x} = \ln|x| + 1, \qquad \frac{y}{x} = \ln\bigl(\ln|x|+1\bigr),
portanto, no intervalo onde \ln x+1>0, a solução explícita é
y = x\,\ln\bigl(1+\ln x\bigr).

Resposta

A solução que satisfaz y(1)=0 é
\boxed{y = x\,\ln\bigl(1+\ln x\bigr).}

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