Reduza à forma a+b i cada uma das seguintes expressões:
1+2 i+3 i^{2}+4 i^{3}+5 i^{4}+6 i^{5}.

Passo 1

Temos a expressão
1 + 2i + 3i^2 + 4i^3 + 5i^4 + 6i^5
e queremos escrevê-la na forma a + b\,i. O conteúdo que usaremos é a propriedade de que as potências de i são periódicas de período 4:
i^1 = i,\quad i^2 = -1,\quad i^3 = -\,i,\quad i^4 = 1,
e para n>4 temos i^n = i^{n \bmod 4}.

Passo 2

Calculemos cada potência de i que aparece:
i^2 = -1,\quad i^3 = -\,i,\quad i^4 = 1,\quad i^5 = i^4 \cdot i = 1\cdot i = i.

Passo 3

Substituímos esses valores na expressão original:
1 + 2i + 3\,(-1) + 4\,(-i) + 5\,(1) + 6\,(i).

Passo 4

Agora distribuímos e agrupamos termos reais e imaginários:
parte real: 1 + 3\,(-1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3,
parte imaginária: 2i + 4(-i) + 6i = 2i - 4i + 6i = 4i.

Passo 5

Portanto a soma fica
3 + 4i.

Resposta

3 + 4i

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