Use a definição para calcular
😉
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede para calcular
, ou seja, a transformada de Laplace de
. As informações relevantes são: o valor de
é zero até
e a partir de
vale
. Não há outras perguntas.]
Passo 2
Vou usar a definição da transformada de Laplace. A definição é
onde
é um número complexo com parte real suficientemente grande para garantir convergência (mais adiante vou explicitar a região de convergência).
Passo 3
Como
para
, a integral pela definição reduz-se a integrar somente a partir de
. Portanto
Aqui eu usei explicitamente o valor dado no enunciado (que
no intervalo inicial).
Passo 4
Uma forma elegante e didática de prosseguir é escrever
usando a função degrau de Heaviside
. Repare que
pois isso é zero para
e igual a
para
. Vou então usar a identidade trigonométrica de mudança de origem:
válida para qualquer
. Tomando
teremos uma forma útil em termos de funções deslocadas em
.
Passo 5
Aplicando a identidade com
obtemos (e usando
e
):
Logo, para
temos
, e então
Passo 6
Agora uso a propriedade de deslocamento no tempo: se
é uma função e definimos
, então a transformada de Laplace satisfaz
Prova rápida (muito útil na prova): pela definição,
Fazendo mudança de variável
, então
e
, os limites vão de
a
, dando
Passo 7
Aplicando essa propriedade ao nosso
escrito em Passo 5, com
e
, obtemos
Ou seja, basta calcular
.
Passo 8
Calculemos
pela definição. Usando a representação complexa ou direto por integrações por partes, um caminho curto é:
Considere a integral complexa
, cuja soma é
(para
). Tomando a parte imaginária dessa expressão (já que
) obtém-se
Calculando
, a parte imaginária é
. Logo
(A dedução análoga para
dá
, caso precise lembrá-la.)
Passo 9
Voltando à expressão do Passo 7 e substituindo
, obtemos
válido para
(essa condição garante que todas as integrais convergem).