Reduza os itens a forma x+y i
(1+2 i)(2-2 i)1+i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a expressão (1+2i)(2-2i)1+i na forma x + y i. Isso faz parte das operações com números complexos, onde multiplicamos e dividimos esses números. Para isso, vamos precisar saber como multiplicar e dividir números complexos utilizando suas partes reais e imaginárias.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos no numerador: (1 + 2i) e (2 - 2i).
Quando multiplicamos expressões como essas, usamos a distributiva (FOIL):
(1 + 2i)(2 - 2i) = 1 cdot 2 + 1 cdot (-2i) + 2i cdot 2 + 2i cdot (-2i)
= 2 - 2i + 4i - 4i^2

Passo 3

Lembrando que i^2 = -1, podemos simplificar a expressão:
2 - 2i + 4i - 4(-1) = 2 + 2i + 4 = 6 + 2i
Então, o numerador ficou 6 + 2i.

Passo 4

Agora, temos que dividir esse resultado pelo denominador 1 + i:
6 + 2i1 + i
Para dividir números complexos, a gente multiplica o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 1 + i é 1 - i.

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
(6 + 2i)(1 - i)(1 + i)(1 - i)
Vamos multiplicar as partes:
No numerador:
6 cdot 1 + 6 cdot (-i) + 2i cdot 1 + 2i cdot (-i) = 6 - 6i + 2i - 2i^2
= 6 - 4i - 2(-1) = 6 - 4i + 2 = 8 - 4i
No denominador:
(1)(1) + (1)(-i) + i(1) + i(-i) = 1 - i + i - i^2
= 1 - (-1) = 1 + 1 = 2

Passo 6

Agora, juntando tudo:
8 - 4i2 = 82 - 4i2 = 4 - 2i

Resposta

A expressão reduzida na forma x + y i é 4 - 2i.

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