Reduzir cada uma das equaçōes à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádricas
e pede para reduzi-la à forma canônica, identificar de qual tipo de quádricas se trata e esboçar seu gráfico. Aqui o único trabalho de redução é dividir ambos os lados por uma constante, pois não há termos lineares ou mistos.
Passo 2
Dividindo toda a equação por
, obtemos
ou seja
Passo 3
Na forma
com
,
,
, temos um sinal positivo e dois negativos, igual a
. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo
.
Passo 4
Para entender o formato, examinamos seções planas:
- Plano
: Só existem pontos reais quando . Nessas seções (para ) temos que é uma elipse. Em a elipse degenera num ponto e para não há solução real — por isso são duas folhas, uma para e outra para . - Plano
: uma hipérbole no plano . - Plano
: outra hipérbole no plano .
Passo 5
O esboço da superfície é este: duas “tigelas” simétricas em torno da origem, abertas ao longo do eixo
. Cada folha tem vértice em
ou
e cresce para elipses de seção transversal conforme
aumenta.
Resposta
Forma canônica:
Tipo de superfície: hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de
.
Gráfico: duas folhas afastadas entre si, com vértices em e seções elípticas para
.
Gráfico: duas folhas afastadas entre si, com vértices em