Reduzir cada uma das equaçōes à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa.
36 x^2-9 y^2-4 z^2=36

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas
36x^2-9y^2-4z^2=36
e pede para reduzi-la à forma canônica, identificar de qual tipo de quádricas se trata e esboçar seu gráfico. Aqui o único trabalho de redução é dividir ambos os lados por uma constante, pois não há termos lineares ou mistos.

Passo 2

Dividindo toda a equação por 36, obtemos
36x^236-9y^236-4z^236=1
ou seja
x^21-y^24-z^29=1

Passo 3

Na forma
x^2a^2-y^2b^2-z^2c^2=1
com a^2=1, b^2=4, c^2=9, temos um sinal positivo e dois negativos, igual a +1. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo x.

Passo 4

Para entender o formato, examinamos seções planas:
  1. Plano x=x0: -y^24-z^29=1 - x0^2 Só existem pontos reais quando x0^2>1. Nessas seções (para lvert x0rvert>1) temos y^24+z^29=x0^2-1, que é uma elipse. Em x0=pm1 a elipse degenera num ponto e para lvert x0rvert<1 não há solução real — por isso são duas folhas, uma para x>=1 e outra para x<=-1.
  2. Plano y=0: x^21-z^29=1, uma hipérbole no plano xz.
  3. Plano z=0: x^21-y^24=1, outra hipérbole no plano xy.

Passo 5

O esboço da superfície é este: duas “tigelas” simétricas em torno da origem, abertas ao longo do eixo x. Cada folha tem vértice em (1,0,0) ou (-1,0,0) e cresce para elipses de seção transversal conforme lvert xrvert aumenta.

Resposta

Forma canônica:
x^21-y^24-z^29=1
Tipo de superfície: hiperbolóide de duas folhas com eixo ao longo de x.
Gráfico: duas folhas afastadas entre si, com vértices em (pm1,0,0) e seções elípticas para lvert xrvert>1.

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