definida por é um produto interno, verifique que é produto interno, tal produto é chamado produto interno usual sobre . Dadas as matrizes
determine |X+Y| e o ângulo entre essas matrizes.
Passo 1
O enunciado define, em , o produto interno
para
e pede para verificar que isso é mesmo um produto interno (simetria, linearidade e positividade) e, em seguida, calcular e o ângulo entre duas matrizes dadas.
Passo 2
Simetria e linearidade. Para quaisquer X,Y,Z e escalares alpha,beta, nota-se que
lang<= X,Yrang<= = x x' + y y' + z z' + w w' = lang<= Y,Xrang<=,
e
lang<= alpha X + beta Z,,Yrang<= = alpha,(x x' + y y' + z z' + w w') + beta,(z x' +dots+!w z') = alphalang<= X,Yrang<= + betalang<= Z,Yrang<=,
logo é bilinear e simétrico.
Passo 3
Positividade definida. Para todo X=(x,y,z,w),
lang<= X,Xrang<= = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 >= 0
e vale zero só se x=y=z=w=0. Isso garante a positividade estrita, logo é produto interno.