Se
X=(ll x & y z & w ) e Y=(ll x^prime & y^prime z^prime & w^prime )
são matrizes quaisquer de M2(R), a função
<,>: M2(R) times M2(R) R
definida por <X, Y>=x x^prime+y y^prime+z z^prime+w w^prime é um produto interno, verifique que é produto interno, tal produto é chamado produto interno usual sobre M2(R). Dadas as matrizes
X=(rr 1 & 2 -1 & 1 ) e Y=(ll 0 & 2 1 & 2 )
determine |X+Y| e o ângulo entre essas matrizes.

Passo 1

O enunciado define, em , o produto interno
para
e pede para verificar que isso é mesmo um produto interno (simetria, linearidade e positividade) e, em seguida, calcular e o ângulo entre duas matrizes dadas.

Passo 2

Simetria e linearidade. Para quaisquer X,Y,Z e escalares alpha,beta, nota-se que
lang<= X,Yrang<= = x x' + y y' + z z' + w w' = lang<= Y,Xrang<=,
e
lang<= alpha X + beta Z,,Yrang<= = alpha,(x x' + y y' + z z' + w w') + beta,(z x' +dots+!w z') = alphalang<= X,Yrang<= + betalang<= Z,Yrang<=,
logo é bilinear e simétrico.

Passo 3

Positividade definida. Para todo X=(x,y,z,w),
lang<= X,Xrang<= = x^2 + y^2 + z^2 + w^2 >= 0
e vale zero só se x=y=z=w=0. Isso garante a positividade estrita, logo é produto interno.

Passo 4

Cálculo de |X+Y|. Com
X=1&2-1&1, Y=0&21&2,
temos
X+Y = 1+0 & 2+2 -1+1 & 1+2 = 1&40&3
Então
lang<= X+Y,,X+Yrang<= = 1^2 + 4^2 + 0^2 + 3^2 = 26,
e portanto
|X+Y| = raiz26

Passo 5

Cálculo do ângulo theta. Primeiro
lang<= X,Yrang<= = 1cdot0 + 2cdot2 + (-1)cdot1 + 1cdot2 = 0 + 4 -1 +2 = 5
Além disso
|X| = raiz1^2+2^2+(-1)^2+1^2 = raiz7, |Y| = raiz0^2+2^2+1^2+2^2 = 3
Da definição de ângulo em produto interno,
costheta = lang<= X,Yrang<=|X|;|Y| = 5raiz7,cdot3 = 53raiz7,
logo
theta = arccos!l(tfrac53raiz7r)

Resposta

|X+Y| = raiz26
theta = arccos!l(tfrac53raiz7r)

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