Usar a regra de Cramer para resolver os sistemas de equaçōes lineares:
ly+2 z=1 2 x+4 y+z=0 x+2 y=1

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares, que basicamente é um conjunto de equações onde as incógnitas aparecem de forma linear. O exercício pede para resolver esse sistema usando a Regra de Cramer. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes e aplicar a própria Regra de Cramer, que ajuda a encontrar as soluções das incógnitas de forma direta quando temos um sistema com o mesmo número de equações e incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
y + 2z = 1 2x + 4y + z = 0 x + 2y = 1
Podemos reorganizar as equações para alinhar os termos das incógnitas x, y e z. Nota que a primeira equação não tem x, então adicionamos um 0x:
0x + y + 2z = 1 2x + 4y + z = 0 x + 2y + 0z = 1

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante, que aparece na Regra de Cramer. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas:
A = 0 & 1 & 2 2 & 4 & 1 1 & 2 & 0
Vamos calcular o determinante dessa matriz, que chamaremos de |A|. A fórmula para o determinante de uma matriz 3 times 3 é:
|A| = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando os valores:
|A| = 0(4 cdot 0 - 1 cdot 2) - 1(2 cdot 0 - 1 cdot 1) + 2(2 cdot 2 - 4 cdot 1)
|A| = 0(0 - 2) - 1(0 - 1) + 2(4 - 4)
|A| = 0 + 1 + 0 = 1

Passo 4

Como |A| neq 0, podemos usar a Regra de Cramer para encontrar as soluções. A Regra de Cramer nos diz que cada incógnita pode ser encontrada substituindo a coluna correspondente na matriz dos coeficientes pela coluna dos termos independentes.
Vamos chamar a matriz original de A, e as colunas de Ax, Ay, e Az.
Primeiro, vamos encontrar x. Substituímos a coluna de x na matriz A pelos termos independentes:
Ax = 1 & 1 & 2 0 & 4 & 1 1 & 2 & 0
Calculando o determinante |Ax|:
|Ax| = 1(4 cdot 0 - 1 cdot 2) - 1(0 cdot 0 - 1 cdot 1) + 2(0 cdot 2 - 4 cdot 1)
|Ax| = 1(0 - 2) - 1(0 - 1) + 2(0 - 4)
|Ax| = -2 + 1 - 8 = -9
Então, x = |Ax||A| = -91 = -9.

Passo 5

Vamos agora encontrar y. Substituímos a coluna de y na matriz A pelos termos independentes:
Ay = 0 & 1 & 2 2 & 0 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante |Ay|:
|Ay| = 0(0 cdot 0 - 1 cdot 1) - 1(2 cdot 0 - 1 cdot 1) + 2(2 cdot 1 - 0 cdot 1)
|Ay| = 0(0 - 1) - 1(0 - 1) + 2(2 - 0)
|Ay| = 0 + 1 + 4 = 5
Então, y = |Ay||A| = 51 = 5.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar z. Substituímos a coluna de z na matriz A pelos termos independentes:
Az = 0 & 1 & 1 2 & 4 & 0 1 & 2 & 1
Calculando o determinante |Az|:
|Az| = 0(4 cdot 1 - 0 cdot 2) - 1(2 cdot 1 - 0 cdot 1) + 1(2 cdot 2 - 4 cdot 1)
|Az| = 0(4 - 0) - 1(2 - 0) + 1(4 - 4)
|Az| = 0 - 2 + 0 = -2
Então, z = |Az||A| = -21 = -2.

Resposta

A solução do sistema é:
x = -9, y = 5, z = -2

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