Verifique que
e
são, respectivamente, soluções particulares de
e
Encontre uma solução particular de
. Qual a solução geral?
Passo 1
O enunciado fornece duas equações diferenciais e duas funções que devem ser verificadas como soluções particulares, e pede uma solução particular e a solução geral para a equação com o lado direito somado. Especificamente:
- Equação (I) e função dada:
- Equação (II) e função dada:
As tarefas pedidas:
- Verificar que
é solução particular da equação (I). - Verificar que
é solução particular da equação (II). - Encontrar uma solução particular da equação
- Determinar a solução geral dessa última equação.
Passo 2
Verificação de
.
Calcule as derivadas:
Substituindo na expressão linear
:
Passo 3
Continue o cálculo:
Portanto
que coincide com o lado direito da equação (I). Conclusão:
é de fato uma solução particular da equação (I).
Passo 4
Verificação de
.
Calcule as derivadas:
Substituindo em
:
Passo 5
Continue o cálculo:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto
que coincide com o lado direito da equação (II). Conclusão:
é solução particular da equação (II).
Passo 6
Encontrar uma solução particular da equação combinada usando linearidade.
Defina o operador linear
Um operador linear satisfaz
. Como já verificamos que
segue que para a soma
vale
Isso é exatamente o lado direito desejado.
Passo 7
Conclusão imediata: uma solução particular da equação
é
Passo 8
Determinar a solução geral: primeiro obtemos a solução geral da homogênea associada.
Equação homogênea:
Forme a equação característica:
Resolva:
Portanto as raízes são
e
. Como são reais e distintas, a solução geral homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 9
A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma particular:
Resposta
Uma solução particular da equação combinada é
A solução geral é