Verifique que y_{p_{1}}=3 e^{2 x} e y_{p_{2}}=x^{2}+3 x são, respectivamente, soluções particulares de
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=-9 e^{2 x}
e
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=5 x^{2}+3 x-16
Encontre uma solução particular de y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=5 x^{2}+3 x-16-9 e^{2 x}. Qual a solução geral?

Passo 1

O enunciado fornece duas equações diferenciais e duas funções que devem ser verificadas como soluções particulares, e pede uma solução particular e a solução geral para a equação com o lado direito somado. Especificamente:
  • Equação (I) e função dada:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=-9e^{2x}, \qquad y_{p_{1}}=3e^{2x}.
  • Equação (II) e função dada:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=5x^{2}+3x-16, \qquad y_{p_{2}}=x^{2}+3x.
As tarefas pedidas:
  1. Verificar que \,y_{p_{1}}=3e^{2x}\, é solução particular da equação (I).
  2. Verificar que \,y_{p_{2}}=x^{2}+3x\, é solução particular da equação (II).
  3. Encontrar uma solução particular da equação
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=5x^{2}+3x-16-9e^{2x}.
  1. Determinar a solução geral dessa última equação.

Passo 2

Verificação de \,y_{p_{1}}=3e^{2x}.
Calcule as derivadas:
y_{p_{1}}=3e^{2x}, \qquad y_{p_{1}}^{\prime}=3\cdot2e^{2x}=6e^{2x}, \qquad y_{p_{1}}^{\prime\prime}=6\cdot2e^{2x}=12e^{2x}.
Substituindo na expressão linear \,L[y]=y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y\,:
L[y_{p_{1}}]=12e^{2x}-6(6e^{2x})+5(3e^{2x}).

Passo 3

Continue o cálculo:
L[y_{p_{1}}]=(12-36+15)e^{2x}=(-9)e^{2x}.
Portanto
L[y_{p_{1}}]=-9e^{2x},
que coincide com o lado direito da equação (I). Conclusão: \,y_{p_{1}}=3e^{2x}\, é de fato uma solução particular da equação (I).

Passo 4

Verificação de \,y_{p_{2}}=x^{2}+3x.
Calcule as derivadas:
y_{p_{2}}=x^{2}+3x, \qquad y_{p_{2}}^{\prime}=2x+3, \qquad y_{p_{2}}^{\prime\prime}=2.
Substituindo em \,L[y]=y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y\,:
L[y_{p_{2}}]=2-6(2x+3)+5(x^{2}+3x).

Passo 5

Continue o cálculo:
L[y_{p_{2}}]=2-12x-18+5x^{2}+15x.
Agrupando termos semelhantes:
L[y_{p_{2}}]=5x^{2}+(-12x+15x)+(2-18)=5x^{2}+3x-16.
Portanto
L[y_{p_{2}}]=5x^{2}+3x-16,
que coincide com o lado direito da equação (II). Conclusão: \,y_{p_{2}}=x^{2}+3x\, é solução particular da equação (II).

Passo 6

Encontrar uma solução particular da equação combinada usando linearidade.
Defina o operador linear
L[y]=y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y.
Um operador linear satisfaz L[u+v]=L[u]+L[v]. Como já verificamos que
L[y_{p_{1}}]=-9e^{2x} \qquad\text{e}\qquad L[y_{p_{2}}]=5x^{2}+3x-16,
segue que para a soma \,y_p=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}\, vale
L[y_p]=L[y_{p_{1}}]+L[y_{p_{2}}]=(-9e^{2x})+(5x^{2}+3x-16).
Isso é exatamente o lado direito desejado.

Passo 7

Conclusão imediata: uma solução particular da equação
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=5x^{2}+3x-16-9e^{2x}
é
y_p= y_{p_{1}}+y_{p_{2}}=3e^{2x}+x^{2}+3x.

Passo 8

Determinar a solução geral: primeiro obtemos a solução geral da homogênea associada.
Equação homogênea:
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=0.
Forme a equação característica:
r^{2}-6r+5=0.
Resolva:
r=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2}.
Portanto as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=5. Como são reais e distintas, a solução geral homogênea é
y_h=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{5x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 9

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{5x}+x^{2}+3x+3e^{2x}.

Resposta

y_{p_{1}}=3e^{2x} é solução particular de y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=-9e^{2x}.
y_{p_{2}}=x^{2}+3x é solução particular de y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=5x^{2}+3x-16.
Uma solução particular da equação combinada é y_{p}=3e^{2x}+x^{2}+3x.
A solução geral é y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{5x}+x^{2}+3x+3e^{2x}.

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