Reescreva a integral abaixo usando coordenadas polares
integral0^1 integralraiz2-x^2^raiz8-x^2 x d y d x+integral1^2 integralx^raiz8-x^2 x d y d x
x d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para reescrever uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, especificamente sobre mudanças de coordenadas em integrais múltiplas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a mudança para coordenadas polares. Em cartesianas, temos x = r cos(theta) e y = r sin(theta) . Em polares, a gente usa (a distância até a origem) e (o ângulo com o eixo positivo ). As relações são:
E o elemento de área vira em coordenadas polares.

Passo 3

Agora, vamos entender a região de integração da integral original. Ela é dividida em duas partes:
  1. De a , e para cada , vai de até .
  2. De a , e para cada , vai de até .
Isso nos mostra que estamos lidando com partes de círculos e linhas retas no plano.

Passo 4

Vamos converter esses limites para coordenadas polares.
Para o primeiro trecho ( ):
  • ou , mas como , ficamos com .
  • .
As funções de :
  • .
  • .
Para o segundo trecho ( ):
  • Similarmente, convertemos os limites de e para polares.
Porém, ao simplificar, percebemos que a região pode ser descrita em um intervalo de e mais gerais.

Passo 5

Após analisar a região, estabelecemos que integral0^pi4 integralraiz2sin(theta)^raiz8sin(theta) (r cos(theta)) cdot r , dr , dtheta + integralpi4^pi2 integral1cos(theta)^raiz8sin(theta) (r cos(theta)) cdot r , dr , dtheta varia de a e de a para cobrir ambas as partes da integral original.
Finalmente, reescrevemos a integral em coordenadas polares:

Resposta

A integral reescrita em coordenadas polares é:
integral0^pi4 integralraiz2sin(theta)^raiz8sin(theta) r^2 cos(theta) , dr , dtheta + integralpi4^pi2 integral1cos(theta)^raiz8sin(theta) r^2 cos(theta) , dr , dtheta

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