(Ref. [1], exemplo 10.3) Aplique o método de decomposição L U para decompor a seguinte matriz \left[\begin{array}{ccc} 3 & -0,1 & -0,2 \\\\ 0,1 & 7 & -0,3 \\\\ 0,3 & -0,2 & 10 \end{array}\right] Passo 1O enunciado pede para decompor a matriz A = \begin{pmatrix} 3 & -0,1 & -0,2\\\\ 0,1 & 7 & -0,3\\\\ 0,3 & -0,2 & 10 \end{pmatrix} no produto A = L\,U, onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior. Vamos usar o método de Doolittle (eliminação de Gauss sem pivotamento), calculando coeficientes l_{ij} e atualizando submatrizes passo a passo. Passo 2Primeiro pivot é a_{11}=3. Definimos U_{11}=a_{11}=3,\quad U_{12}=a_{12}=-0,1,\quad U_{13}=a_{13}=-0,2 e os multiplicadores da primeira coluna: l_{21}=\frac{a_{21}}{U_{11}}=\frac{0,1}{3}=0,0333333,\quad l_{31}=\frac{a_{31}}{U_{11}}=\frac{0,3}{3}=0,1. Passo 3Usamos esses multiplicadores para eliminar abaixo de U_{11}. Atualizamos os elementos da submatriz 2\times2 inferior direita: a'_{22}=a_{22}-l_{21}U_{12} =7 - 0,0333333\cdot(-0,1) =7,0033333, a'_{23}=a_{23}-l_{21}U_{13} =-0,3 - 0,0333333\cdot(-0,2) =-0,2933333, a'_{32}=a_{32}-l_{31}U_{12} =-0,2 - 0,1\cdot(-0,1) =-0,19, a'_{33}=a_{33}-l_{31}U_{13} =10 - 0,1\cdot(-0,2) =10,02. Agora o segundo pivô é U_{22}=a'_{22}=7,0033333. Calculamos l_{32}=\frac{a'_{32}}{U_{22}} =\frac{-0,19}{7,0033333} =-0,0271274. Passo 4Por fim, obtemos U_{23}=a'_{23}=-0,2933333, \quad U_{33}=a'_{33}-l_{32}U_{23} =10,02 - (-0,0271274)\cdot(-0,2933333) =10,0120427. Assim, as matrizes L e U são L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0,0333333 & 1 & 0\\\\ 0,1 & -0,0271274 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 3 & -0,1 & -0,2\\\\ 0 & 7,0033333 & -0,2933333\\\\ 0 & 0 & 10,0120427 \end{pmatrix}. Resposta L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0,0333333 & 1 & 0\\\\ 0,1 & -0,0271274 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 3 & -0,1 & -0,2\\\\ 0 & 7,0033333 & -0,2933333\\\\ 0 & 0 & 10,0120427 \end{pmatrix}. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosResolva o seguinte sistema \begin{aligned} 10 x_{1}+2 x_{2}-x_{3} & =27 \\\\ -3 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3} & =-61,5 \\\ x_{1}+x_{2}+5 x_{3} & =-21,5 \end{aligned} Usando o método de decomposição L U. Calcule a integral iterada. \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}(4-x-2 y) d x d y (Ref. [1]) Aplique o método de decomposição L U para resolver o seguinte sistema \begin{aligned} 8 x_{1}+4 x_{2}-x_{3} & =11 \\\\ -2 x_{1}+5 x_{2}+x_{3} & =4 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3} & =7 \end{aligned} (Ref. [1]) O seguinte sistema de equações permite determinar concentrações em uma série de reatores acoplados como função da quantidade de entrada de massa de cada reator \begin{aligned} 15 c_{1}-3 c_{2}-c_{3} & =3800 \\\\ -3 c_{1}+18 c_{2}-6 c_{3} & =1200 \\\\ -4 x_{1}-c_{2}+12 c_{3} & =2350 \end{aligned} onde c possui unidades de \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}, e os valores no lado direito possuem unidades de g/dia. Sem o uso de código computacional, aplique o método de Gauss-Siedel para resolver o sistema até obter um erro relativo percentual menor que 0.05 .