(Ref. [1], exemplo 10.3) Aplique o método de decomposição L U para decompor a seguinte matriz
\left[\begin{array}{ccc} 3 & -0,1 & -0,2 \\\\ 0,1 & 7 & -0,3 \\\\ 0,3 & -0,2 & 10 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para decompor a matriz
A = \begin{pmatrix} 3 & -0,1 & -0,2\\\\ 0,1 & 7 & -0,3\\\\ 0,3 & -0,2 & 10 \end{pmatrix}
no produto A = L\,U, onde L é triangular inferior com 1’s na diagonal e U é triangular superior. Vamos usar o método de Doolittle (eliminação de Gauss sem pivotamento), calculando coeficientes l_{ij} e atualizando submatrizes passo a passo.

Passo 2

Primeiro pivot é a_{11}=3. Definimos
U_{11}=a_{11}=3,\quad U_{12}=a_{12}=-0,1,\quad U_{13}=a_{13}=-0,2
e os multiplicadores da primeira coluna:
l_{21}=\frac{a_{21}}{U_{11}}=\frac{0,1}{3}=0,0333333,\quad l_{31}=\frac{a_{31}}{U_{11}}=\frac{0,3}{3}=0,1.

Passo 3

Usamos esses multiplicadores para eliminar abaixo de U_{11}. Atualizamos os elementos da submatriz 2\times2 inferior direita:
a'_{22}=a_{22}-l_{21}U_{12} =7 - 0,0333333\cdot(-0,1) =7,0033333,
a'_{23}=a_{23}-l_{21}U_{13} =-0,3 - 0,0333333\cdot(-0,2) =-0,2933333,
a'_{32}=a_{32}-l_{31}U_{12} =-0,2 - 0,1\cdot(-0,1) =-0,19,
a'_{33}=a_{33}-l_{31}U_{13} =10 - 0,1\cdot(-0,2) =10,02.
Agora o segundo pivô é U_{22}=a'_{22}=7,0033333. Calculamos
l_{32}=\frac{a'_{32}}{U_{22}} =\frac{-0,19}{7,0033333} =-0,0271274.

Passo 4

Por fim, obtemos
U_{23}=a'_{23}=-0,2933333, \quad U_{33}=a'_{33}-l_{32}U_{23} =10,02 - (-0,0271274)\cdot(-0,2933333) =10,0120427.
Assim, as matrizes L e U são
L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0,0333333 & 1 & 0\\\\ 0,1 & -0,0271274 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 3 & -0,1 & -0,2\\\\ 0 & 7,0033333 & -0,2933333\\\\ 0 & 0 & 10,0120427 \end{pmatrix}.

Resposta

L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0,0333333 & 1 & 0\\\\ 0,1 & -0,0271274 & 1 \end{pmatrix}, \quad U = \begin{pmatrix} 3 & -0,1 & -0,2\\\\ 0 & 7,0033333 & -0,2933333\\\\ 0 & 0 & 10,0120427 \end{pmatrix}.

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