Reflita sobre as afirmações abaixo, apresentando um contra-exemplo para cada afirmação falsa.
Uma matriz quadrada
é inversível se, e somente se,
.
Uma matriz quadrada
Passo 1
O enunciado afirma que “uma matriz quadrada
é inversível se, e somente se,
”. Esse é um resultado clássico de Álgebra Linear que relaciona invertibilidade de matrizes e determinantes. Para decidir se precisamos de contra-exemplos, basta verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Primeiro verificamos a implicação direta: se
é inversível, então existe
tal que
Tomando determinantes em ambos os lados,
Logo
.
Passo 3
Agora a implicação recíproca: se
, então
é inversível. Isso se prova mostrando que o sistema homogêneo
só tem a solução trivial quando
. Como o núcleo é trivial, a aplicação linear dada por
é bijetora e, portanto,
tem inversa.
Passo 4
Visto que ambas as implicações são verdadeiras, a equivalência “
inversível
” é correta. Não há afirmação falsa aqui, logo não existe contra-exemplo a ser apresentado.
Resposta
A afirmação é verdadeira e, portanto, não há contra-exemplos.