Reflita sobre as afirmações abaixo, apresentando um contra-exemplo para cada afirmação falsa.
Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, det A neq 0.

Passo 1

O enunciado afirma que “uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, detAneq0”. Esse é um resultado clássico de Álgebra Linear que relaciona invertibilidade de matrizes e determinantes. Para decidir se precisamos de contra-exemplos, basta verificar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Primeiro verificamos a implicação direta: se A é inversível, então existe A^-1 tal que
A,A^-1=I
Tomando determinantes em ambos os lados,
det(A),det(A^-1) =det(I)=1
Logo det(A)neq0.

Passo 3

Agora a implicação recíproca: se det(A)neq0, então A é inversível. Isso se prova mostrando que o sistema homogêneo A x=0 só tem a solução trivial quando det(A)neq0. Como o núcleo é trivial, a aplicação linear dada por A é bijetora e, portanto, A tem inversa.

Passo 4

Visto que ambas as implicações são verdadeiras, a equivalência “ A inversível iff det(A)neq0” é correta. Não há afirmação falsa aqui, logo não existe contra-exemplo a ser apresentado.

Resposta

A afirmação é verdadeira e, portanto, não há contra-exemplos.

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