Responda V ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se A é inversível, então sua inversa A^-1 é inversível e (A^-1)^-1=A.

Passo 1

O enunciado está no contexto de álgebra linear: diz que se uma matriz A é invertível, então sua inversa A^-1 também é invertível e que l(A^-1r)^-1=A. Para resolver, vamos usar a definição de matriz inversível e as propriedades da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Por definição de inversibilidade, existe uma matriz A^-1 tal que
A,A^-1=I e A^-1,A=I,
onde I é a matriz identidade. Essas duas igualdades dizem que A^-1 é inversa à esquerda e à direita de A.

Passo 3

Da igualdade A^-1,A=I vemos que a matriz A é inversa à esquerda de A^-1, e da igualdade A,A^-1=I vemos que A é inversa à direita de A^-1. Logo, A satisfaz exatamente a definição de inversa de A^-1. Isso prova que A^-1 é invertível e que
l(A^-1r)^-1=A

Resposta

Verdadeiro.

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