Responda
ou F. Se verdadeiro, prove; se falso, dê um contra-exemplo:
Se
é inversível, então sua inversa
é inversível e
.
Se
Passo 1
O enunciado está no contexto de álgebra linear: diz que se uma matriz
é invertível, então sua inversa
também é invertível e que
. Para resolver, vamos usar a definição de matriz inversível e as propriedades da multiplicação de matrizes.
Passo 2
Por definição de inversibilidade, existe uma matriz
tal que
onde
é a matriz identidade. Essas duas igualdades dizem que
é inversa à esquerda e à direita de
.
Passo 3
Da igualdade
vemos que a matriz
é inversa à esquerda de
, e da igualdade
vemos que
é inversa à direita de
. Logo,
satisfaz exatamente a definição de inversa de
. Isso prova que
é invertível e que
Resposta
Verdadeiro.