Refutar: dois triângulos retângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos de suas hipotenusas forem os mesmos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que temos para refutar diz que “dois triângulos retângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos de suas hipotenusas forem os mesmos.” Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre triângulos retângulos, área e hipotenusa. Para resolver, vamos entender o que significa cada parte e mostrar que essa afirmação não é verdadeira em todos os casos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um triângulo retângulo. É um triângulo que tem um ângulo de 90 graus. A hipotenusa é o lado mais longo desse triângulo, oposto ao ângulo reto.

Passo 3

A área de um triângulo retângulo é calculada pela fórmula:
Á
No caso dos triângulos retângulos, a base e a altura são os dois lados que formam o ângulo reto.

Passo 4

A Hipotenusa ( ) pode ser relacionada aos catetos ( e ) pela famosa fórmula de Pitágoras:
Isso nos mostra que a hipotenusa depende dos comprimentos dos dois outros lados.

Passo 5

Agora, para refutar a afirmação, precisamos mostrar que existem triângulos retângulos com a mesma ��rea, mas hipotenusas de comprimentos diferentes, ou vice-versa.

Passo 6

Vamos considerar dois triângulos retângulos diferentes:
  • Triângulo 1: catetos de 3 e 4 unidades.
  • Triângulo 2: catetos de 6 e 2 unidades.

Passo 7

Calculando a área de cada um:
Áâ
Áâ
Ambos têm a mesma área de 6 unidades².

Passo 8

Agora, vamos calcular as hipotenusas:
As hipotenusas são diferentes: 5 unidades e aproximadamente 6,32 unidades.

Passo 9

Isso mostra que dois triângulos retângulos podem ter a mesma área, mas hipotenusas de comprimentos distintos. Portanto, a afirmação de que “dois triângulos retângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos de suas hipotenusas forem os mesmos” é falsa.

Resposta

Conseguimos mostrar que é possível ter dois triângulos retângulos com a mesma área, mas hipotenusas de tamanhos diferentes. Assim, a afirmação original está refutada.

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