Refutar: dois triângulos retângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos de suas hipotenusas forem os mesmos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que temos para refutar diz que “dois triângulos retângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos de suas hipotenusas forem os mesmos.” Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre triângulos retângulos, área e hipotenusa. Para resolver, vamos entender o que significa cada parte e mostrar que essa afirmação não é verdadeira em todos os casos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um triângulo retângulo. É um triângulo que tem um ângulo de 90 graus. A hipotenusa é o lado mais longo desse triângulo, oposto ao ângulo reto.
Passo 3
A área de um triângulo retângulo é calculada pela fórmula:
No caso dos triângulos retângulos, a base e a altura são os dois lados que formam o ângulo reto.
Passo 4
A Hipotenusa (
) pode ser relacionada aos catetos (
e
) pela famosa fórmula de Pitágoras:
Isso nos mostra que a hipotenusa depende dos comprimentos dos dois outros lados.
Passo 5
Agora, para refutar a afirmação, precisamos mostrar que existem triângulos retângulos com a mesma ��rea, mas hipotenusas de comprimentos diferentes, ou vice-versa.
Passo 6
Vamos considerar dois triângulos retângulos diferentes:
- Triângulo 1: catetos de 3 e 4 unidades.
- Triângulo 2: catetos de 6 e 2 unidades.
Passo 7
Calculando a área de cada um:
Ambos têm a mesma área de 6 unidades².
Passo 8
Agora, vamos calcular as hipotenusas:
As hipotenusas são diferentes: 5 unidades e aproximadamente 6,32 unidades.
Passo 9
Isso mostra que dois triângulos retângulos podem ter a mesma área, mas hipotenusas de comprimentos distintos. Portanto, a afirmação de que “dois triângulos retângulos têm a mesma área se e somente se os comprimentos de suas hipotenusas forem os mesmos” é falsa.
Resposta
Conseguimos mostrar que é possível ter dois triângulos retângulos com a mesma área, mas hipotenusas de tamanhos diferentes. Assim, a afirmação original está refutada.