Refutar: se n é um inteiro não negativo, então 2^(2^n) + 1 é primo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está dizendo. A afirmação é: “Se é um inteiro não negativo, então é primo.” Aqui, estamos lidando com números da forma , conhecidos como números de Fermat. Para resolver isso, precisamos lembrar o que é um número primo e como identificar se um número nessa forma é realmente primo.

Passo 2

Para refutar essa afirmação, precisamos encontrar um exemplo onde a expressão não resulte em um número primo. Isso significa que devemos encontrar um inteiro não negativo tal que seja um número composto, ou seja, que possa ser dividido por algum número além de 1 e ele mesmo.

Passo 3

Vamos testar alguns valores de para ver se conseguimos encontrar um caso onde não é primo.
  • Para :
    3 é um número primo.
  • Para :
    5 é um número primo.
  • Para :
    17 é um número primo.
  • Para :
    257 é um número primo.
  • Para :
    65537 é um número primo.

Passo 4

Vamos testar :
Agora, precisamos verificar se 4294967297 é primo. Sabemos que um número primo tem exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo. Vamos tentar dividir 4294967297 por um número menor que ele para ver se encontramos um divisor.
Sabemos que 641 é um divisor de 4294967297, pois:
Como encontramos um divisor além de 1 e do próprio número, isso significa que 4294967297 não é primo.

Resposta

Portanto, para , não é um número primo, refutando a afirmação inicial.

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