1. Refute, matematicamente, o sofisma de Zenon sobre a corrida de Achiles e a Tartaruga.
Sugestão: partindo das hipóteses de Zenon, mostre que há sim um ponto em que Achiles aliança a tartaruga.

Passo 1

O enunciado apresenta o paradoxo de Zenon em que Achilles, embora seja mais rápido, nunca alcança a tartaruga porque “sempre há uma distância remanescente” em infinitos passos. O conteúdo matemático necessário é a soma de séries infinitas (progressão geométrica) e seu critério de convergência.

Passo 2

Definimos as velocidades e a vantagem inicial:
Sejam vA a velocidade de Achilles e vT a da tartaruga, com
vA>vT>0,
e seja d>0 a distância de vantagem inicial que a tartaruga tem à frente.

Passo 3

Achilles percorre sucessivamente as distâncias que a tartaruga deixou após cada avanço de Achilles:
1. Primeiro trecho: Achilles corre d em
t1=dvA
Nesse tempo a tartaruga avança
d1=vT,t1=vTvA,d
2. Segundo trecho: Achilles percorre d1 em
t2=d1vA =dvA,vTvA =dvAl(vTvAr)
Nesse intervalo, a tartaruga avança
d2=vTvA,d1 =dvAl(vTvAr)^2,
e assim sucessivamente.

Passo 4

Em geral, o n-ésimo tempo é
tn =dvAl(vTvAr)^,n-1
O tempo total até o encontro é
T=sumn=1^inftytn =dvAsumn=0^inftyl(vTvAr)^n
Como tfracvTvA<1, essa progressão geométrica converge a
sumn=0^inftyr^n=11-r, r=vTvA
Portanto
T =dvA,11-vTvA =dvA-vT,
que é finito.

Passo 5

Em T, Achilles percorre
S=vA,T =vA,dvA-vT,
e assim alcança a tartaruga nesse ponto. Concluímos que, embora descrito como infinitos passos, o tempo total é finito, refutando o sofisma de Zenon.

Resposta

Achilles alcança a tartaruga em tempo
T=dvA-vT
e na distância
S=vA,dvA-vT

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