Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|b e b|a, então a=b.
Se a|b e b|a, então a=b.
Passo 1
O enunciado afirma a conjectura: "Se
e
, então
".
O que é pedido: mostrar que essa afirmação é falsa, ou seja, encontrar um contraexemplo (ou explicar por que ela não vale em geral).
Informações dadas implicitamente: estamos trabalhando com números inteiros e o símbolo “ ” denota divisibilidade, isto é,
significa que existe um inteiro
tal que
.
O que é pedido: mostrar que essa afirmação é falsa, ou seja, encontrar um contraexemplo (ou explicar por que ela não vale em geral).
Informações dadas implicitamente: estamos trabalhando com números inteiros e o símbolo “
Passo 2
Vamos lembrar a definição precisa de divisibilidade — isso é essencial para pensar em contraexemplos.
Definição: dizemos que um inteiro divide um inteiro
(escrevemos
) quando existe um inteiro
tal que
Definição: dizemos que um inteiro
Aqui
é o divisor,
é o divisível e
é o quociente (um inteiro). Exemplo simples:
porque
.
Passo 3
Usando a definição, traduza as hipóteses
e
em igualdade com inteiros multiplicadores.
Como , existe um inteiro
tal que
Como
Como
, existe um inteiro
tal que
Essas duas igualdades são a base algébrica para raciocinar.
Passo 4
Substitua uma igualdade na outra para relacionar
,
e
. Usando
dentro de
obtemos
Escrevendo de forma arrumada:
Agora passe tudo para um lado:
Passo 5
A igualdade
nos força a duas possibilidades (lembrando que trabalhamos em
): ou
ou
. Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
.
Se e
, pela definição existe inteiro
tal que
. Logo
. Nesse caso concretamente
, então a conclusão
seria verdadeira — mas isso não mostra que a conjectura é sempre verdadeira, só cobre esse caso particular.
Se
Caso 2:
. Então
.
Como e
são inteiros, os únicos pares inteiros com produto
são
ou
. Portanto
.
Como
Passo 6
Se
então pela relação
temos
.
Se então
.
Assim, exceto pelo caso trivial , a dedução geral é:
Se
Assim, exceto pelo caso trivial
Ou seja, a consequência correta é
, não necessariamente
. Portanto a conjectura original (que exige
sempre) é falsa em geral — basta encontrar um par com
e
.
Passo 7
Construa um contraexemplo concreto e verifique as divisibilidades de maneira direta (sempre bom checar com números!). Tome, por exemplo,
e
.
Verificações:
Verificações:
logo
.
logo
.
Temos e
, mas
. Isso mostra que a afirmação "se
e
então
" é falsa no conjunto dos inteiros.
Temos
Resposta
Um contraexemplo é
, pois
e
mas
.