Refute (prove que é falsa) cada uma das conjecturas abaixo usando algum contraexemplo:
Se a|b e b|a, então a=b.

Passo 1

O enunciado afirma a conjectura: "Se a\mid b e b\mid a, então a=b".
O que é pedido: mostrar que essa afirmação é falsa, ou seja, encontrar um contraexemplo (ou explicar por que ela não vale em geral).
Informações dadas implicitamente: estamos trabalhando com números inteiros e o símbolo “ \mid” denota divisibilidade, isto é, x\mid y significa que existe um inteiro k tal que y = xk.

Passo 2

Vamos lembrar a definição precisa de divisibilidade — isso é essencial para pensar em contraexemplos.
Definição: dizemos que um inteiro p divide um inteiro q (escrevemos p\mid q) quando existe um inteiro t tal que
q = p\,t.
Aqui p é o divisor, q é o divisível e t é o quociente (um inteiro). Exemplo simples: 3\mid 12 porque 12 = 3\cdot 4.

Passo 3

Usando a definição, traduza as hipóteses a\mid b e b\mid a em igualdade com inteiros multiplicadores.
Como a\mid b, existe um inteiro k tal que
b = a k.
Como b\mid a, existe um inteiro l tal que
a = b l.
Essas duas igualdades são a base algébrica para raciocinar.

Passo 4

Substitua uma igualdade na outra para relacionar a, k e l. Usando b = a k dentro de a = b l obtemos
a = (a k) l.
Escrevendo de forma arrumada:
a = a\,(k l).
Agora passe tudo para um lado:
a - a\,(k l) = 0
a\,(1 - k l) = 0.

Passo 5

A igualdade a\,(1 - k l) = 0 nos força a duas possibilidades (lembrando que trabalhamos em \mathbb{Z}): ou a = 0 ou 1 - k l = 0. Vamos analisar cada caso.
Caso 1: a = 0.
Se a=0 e a\mid b, pela definição existe inteiro k tal que b = a k = 0. Logo b=0. Nesse caso concretamente a=b=0, então a conclusão a=b seria verdadeira — mas isso não mostra que a conjectura é sempre verdadeira, só cobre esse caso particular.
Caso 2: 1 - k l = 0. Então k l = 1.
Como k e l são inteiros, os únicos pares inteiros com produto 1 são k=1,l=1 ou k=-1,l=-1. Portanto k = \pm 1.

Passo 6

Se k = 1 então pela relação b = a k temos b = a.
Se k = -1 então b = a(-1) = -a.
Assim, exceto pelo caso trivial a=b=0, a dedução geral é:
\text{se }a\mid b\text{ e }b\mid a\text{ então }b = a\quad\text{ou}\quad b = -a.ã
Ou seja, a consequência correta é b=\pm a, não necessariamente b=a. Portanto a conjectura original (que exige a=b sempre) é falsa em geral — basta encontrar um par com b=-a e a\neq b.

Passo 7

Construa um contraexemplo concreto e verifique as divisibilidades de maneira direta (sempre bom checar com números!). Tome, por exemplo, a=2 e b=-2.
Verificações:
-2 = 2\cdot(-1),
logo 2\mid -2.
2 = (-2)\cdot(-1),
logo -2\mid 2.
Temos 2\mid -2 e -2\mid 2, mas 2 \neq -2. Isso mostra que a afirmação "se a\mid b e b\mid a então a=b" é falsa no conjunto dos inteiros.

Resposta

Um contraexemplo é a=2,\\ b=-2, pois 2\mid -2 e -2\mid 2 mas 2\neq -2.

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